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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 5

Partindo da invariância da fase de uma onda plana monocromática, obtenha as expressões relativísticas do efeito de aberração, demonstrando que as direções θ e θ ' de propagação da luz em ( S ' ) e ( S ) estão relacionadas por:

c o s θ ' = c o s θ - β 1 - β c o s θ ; s e n θ ' = s e n θ γ 1 - β c o s θ

Passo 1

A invariância da fase de uma onda plana monocromática nos diz que:

F = F '

Ou seja:

v ' t - x c c o s θ - y c s e n θ = v ' t ' - x ' c c o s θ ' - y ' c s e n θ '

Temos então que:

t - x c c o s θ - y c s e n θ = t ' - x ' c c o s θ ' - y ' c s e n θ '

Passo 2

Sa transformações de Lorentz, temos que:

x = γ x ' + V t '

y = y '

t = γ t ' + V c 2 x '

Passo 3

Substituindo as transformações de Lorentz:

γ t ' + V c 2 x ' - γ x ' + V t ' c c o s θ - y ' c s e n θ = t ' - x ' c c o s θ ' - y ' c s e n θ '

Pondo t ' e x ' em evidência do lado esquerdo teremos:

γ t ' + V c 2 x ' - γ x ' + V t ' c c o s θ - y ' c s e n θ = t ' - x ' c c o s θ ' - y ' c s e n θ '

t ' 1 - V c γ - x ' c c o s θ - V c γ - y ' c s e n θ = t ' - x ' c c o s θ ' - y ' c s e n θ '

Vamos agora comparar os termos do lado esquerdo com os do lado direito.

Passo 4

Cmeçando com os termos com t ' .

t ' 1 - V cos ⁡ θ c γ = t '

1 - V cos ⁡ θ c γ = 1

Passo 5

Vamos agora fazer a mesma coisa com os termos com x ' .

- x ' c c o s θ - V c γ = - x ' c c o s θ '

c o s θ ' = c o s θ - V c γ

No passo anterior encontramos a relação γ = 1 1 - V cos ⁡ θ c . Logo:

c o s θ ' = c o s θ - V c 1 1 - V cos ⁡ θ c

c o s θ ' = c o s θ - β 1 - β c o s θ

Passo 6

Por último, iremos comparar os termos que sobraram, que seria os com o y ' .

- y ' c s e n θ =   - y ' c s e n θ '

1 ⋅ s e n θ ' = 1 ⋅ s e n θ

Já vimos que 1 - V cos ⁡ θ c γ = 1 , podemos então escrever:

s e n θ ' = 1 1 - V cos ⁡ θ c γ s e n θ

s e n θ ' = s e n θ γ 1 - β c o s θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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