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Enunciado

Química - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 40.1 - Ex. 27

Uma peça radioativa de folha de prata (t1 / 2 = 2,4 min) é colocada perto de um contador Geiger e 1000 contagens / s são observadas no tempo t = 0. (a) Qual é a taxa de contagem em t = 2,4 min e em t = 4,8 min? (b) Se a eficiência da contagem é de 20 por cento, quantos núcleos de prata radioativos existem no tempo t = 0? No tempo t = 2,4 min? (c) Em que momento a taxa de contagem será de cerca de 30 contagens / s?

Passo 1

(a) Fala aee, tranquilo??

Para achar a taxa de contagens em t = 2,4   m i n , que é o seu tempo de meia-vida, ou seja, n = 1 , podemos usar:

R = 1 2 n R 0

R 2,4   m i n = 1 2 1 ( 1000   c o n t a g e n s / s )

∴

R 2,4   m i n = 500   B q

Passo 2

Em t = 4,8   m i n , teremos n = 2 :

R 4,8   m i n = 1 2 2 ( 1000   c o n t a g e n s / s )

R 4,8   m i n = 250   B q

Passo 3

(b) O número de núcleos radioativos está relacionado com R e a constante de decaimento por:

R = λ N → N = R λ

Onde podemos achar λ por:

λ = ln ⁡ 2 t 1 / 2 = ln ⁡ 2 2,4   m i n

λ = ln ⁡ 2 144   s

λ = 4,813 × 10 - 3   s - 1

Passo 4

Agora, precisamos achar R 0 , que é a taxa de decaimento em t = 0 .

A eficiência da detecção depende da probabilidade de que uma partícula de decaimento radioativo entre no detector e da probabilidade de que, ao entrar no detector, ela produza uma contagem. Se a eficiência for 20%, a taxa de decaimento deve ser 5 vezes a taxa de contagem.

Como a taxa de contagem em t = 0 é 1000   c o n t a g e n s / s :

R 0 = 5 1000 = 5000   s - 1

Assim, o número de núcleos em t = 0 :

N 0 = R 0 λ = 5000   s - 1 4,813 × 10 - 3   s - 1

N 0 = 10 6

Passo 5

Para achar N 2,4   m i n , vamos usar o mesmo raciocínio de antes. Mas, agora, temos que achar R 2,4   m i n .

Temos que a taxa de contagem em t = 2,4   m i n é 500   c o n t a g e n s / s , então:

R 2,4   m i n = 5 500 = 2500   s - 1

Assim:

N 2,4   m i n = R 2,4   m i n λ = 2500   s - 1 4,813 × 10 - 3   s - 1

N 2,4   m i n = 5,2 × 10 5

Passo 6

(c) O tempo em que a taxa de contagem será de cerca de 30 contagens/s é o produto do número de meias-vidas que terão passado e a meia-vida:

t = n t 1 / 2

A taxa de contagem após n meias-vidas é:

R = 1 2 n R 0

→

n = ln ⁡ R R 0 ln ⁡ 1 2

Assim:

n = ln ⁡ 30   c o n t a g e n s / s 1000   c o n t a g e n s / s ln ⁡ 1 2

n = 5,059

Dessa forma, o tempo em que a taxa de contagens será 30   c o n t a g e n s / s será:

t = ( 5,059 ) ( 2,4   m i n )

t = 12   m i n

Prontinho!! Acabou!

Resposta

(a) R 2,4   m i n = 500   B q e R 4,8   m i n = 250   B q .

(b) N 0 = 10 6 e N 2,4   m i n = 5,2 × 10 5 .

(c) 12   m i n

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