Uma pedra é deixada cair em t = 0 . Uma segunda pedra, com uma massa duas vezes maior, é deixada cair do mesmo ponto em t = 100   m s . (a) A que distância do ponto inicial da queda está o centro de massa das duas pedras em t = 300   m s ? (Suponha que as pedras ainda não chegaram ao solo.) (b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas pedras nesse instante?

Passo 1

A equação da posição para um movimento de queda livre, considerando o ponto de partida como y = 0 e o sentido positivo de y para baixo, é dada por:

y t = 1 2 g t 2     e q . 1

A partir dessa equação vamos determinar a coordenada de cada pedra e, por fim, aplicaremos a seguinte relação para determinar a posição do centro de massa:

y c m = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2       e q . 2

Além disso, devemos lembrar que a equação que representa a velocidade de um corpo em quedra livre, usando o mesmo referencial dito acima, é:

v t = g t       e q . 3

E que a velocidade do centro de massa pode ser calculada por:

v c m = v 1 m 1 + v 2 m 2 m 1 + m 2       e q . 4

Passo 2

Aplicando a e q . 1 para a primeira bolinha, temos:

y 1 = 1 2 9,8 300 × 10 - 3 2 = 0,441   m

E para segunda bolinha:

y 2 = 1 2 9,8 300 × 10 - 3 - 100 × 10 - 3 2 = 0,196   m

Passo 3

Então, com as coordenadas das bolinhas em mãos, podemos usar a e q . 2 para determinar a coordenada do centro de massa, lembrando de m 2 = 2 m 1 :

y c m = m 1 × 0,441 + 2 m 1 × 0,196 3 m 1 = 0,278   m

Passo 4

Usando a e q . 3 para determinar a velocidade da primeira bolinha:

v 1 = 9,8 × 300 × 10 - 3 = 2,94   m / s

E a velocidade da segunda bolinha:

v 2 = 9,8 × 300 × 10 - 3 - 100 × 10 - 3 = 1,96   m / s

Passo 5

Com as velocidades das bolinhas em mãos, podemos usar a e q . 4 para determinar a velocidade do centro de massa:

v c m = 2,94 m 1 + 1,96 2 m 1 3 m 1 = 2,29   m / s

Resposta

  1. y c m = 0,278   m ;
  2. v c m = 2,29   m / s .
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