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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 10

Uma pedra de massa m é arremessada de baixo para cima formando um ângulo θ acima da horizontal e não sofre nenhuma resistência significativa do ar. Use a conservação de energia para mostrar que, no seu ponto mais alto, ela está a uma distância v 0 2 ( sin 2 ⁡ θ ) 2 g acima do ponto de onde foi arremessada. (Sugestão: v 0 2 = v 0 x 2 + v 0 y 2 )

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? A grande sacada aqui é perceber que somente a gravidade atua. Então pela conservação da energia vamos ter

K 1 + U g r a v , 1 = K 2 + U g r a v , 2

Onde o corpo então cai livremente sem resistência do ar e pode se mover para cima ou para baixo, de forma que o peso é única força atuante.

Vamos considerar que a pedra deixa o ponto 1 logo após o arremesso e o ponto 2 na altura máxima.

Passo 2

Para usarmos a fórmula sugerida então y 1 = 0 e v 1 = v 0 , na situação inicial.

No ponto mais alto, v 2 = v 0 cos ⁡ θ ;

1 2 m v 0 2 + 0 = 1 2 m v 2 2 + m g y 2

1 2 m v 0 2 = 1 2 m ( v 0 cos ⁡ θ ) 2 + m g y 2

Isolando y 2 , temos

y 2 = 1 2 m v 0 2 - 1 2 m ( v 0 cos ⁡ θ ) 2 m g

Pela trigonometria temos que: sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 . Substituindo cosseno por seno na fórmula,

y 2 = v 0 2 2 g ( 1 - cos 2 ⁡ θ )

y 2 = v 0 2 2 g ( sin 2 ⁡ θ )

Resposta

y 2 = v 0 2 2 g ( sin 2 ⁡ θ )

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