Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 11.Problemas Adicionais - Ex. 79
Uma pequena esfera maciça com de raio e uma massa de rola sem deslizar no interior de um grande hemisfério fixo com de raio e um eixo de simetria vertical. A esfera parte do repouso no alto do hemisfério.
Qual é a energia cinética da esfera ao chegar ao ponto mais baixo do hemisfério?
Que fração da energia cinética da esfera no ponto mais baixo do hemisfério está associada à rotação em torno de um eixo que passa pelo centro de massa?
Qual é o módulo da força normal que a esfera exerce sobre o hemisfério no instante em que chega ao ponto mais baixo?
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa questão parece difícil, mas vou facilitar pra você =D
Vamos ver um esboço do que está acontecendo:
Quando a esfera está no alto do hemisfério ela possui apenas energia potencial gravitacional. Quando chegar ao fundo do hemisfério ela vai ter apenas energia cinética (de rotação e de translação, mas cinética apenas). Como o sistema não perde energia, podemos aplicar o teorema de conservação de energia nesses dois pontos:
Lembrando que a altura é o deslocamento do centro de massa. Como a esfera tem dimensões, a altura que o centro de massa percorre vai ser .
Passo 2
Para calcular a energia cinética rotacional vamos lembrar como é a fórmula:
Mas como a esfera não desliza a relação é válido. E lembrando também que o momento de inércia de uma esfera maciça é a energia rotacional fica:
Passo 3
A energia cinética total vai ser a energia cinética de rotação (que calculamos agora pouco) mais a energia de translação (), assim temos:
E agora podemos saber qual fração da energia total corresponde a energia cinética de rotação:
Passo 4
E a força normal?
Na parte inferior do hemisfério temos a força peso apontando para baixo e a força normal apontando para cima. E resultante dessas forças é a força centrípeta (lembrando que força centrípeta é ). Então pela segunda lei de Newton temos:
Mas agora precisamos encontrar o valor de . Dá uma espiada lá no passo e relembra comigo a expressão que encontramos para a energia potencial gravitacional:
Agora vai lá no passo e pega a expressão para a energia cinética total:
E pela conservação de energia sabemos que essas duas expressões tem o mesmo valor, não é? Então podemos igualar as duas e achar uma expressão para :
Agora sim podemos voltar ali em cima e substituir essa expressão pra na expressão da força normal:
Agora podemos substituir os valores: