Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 75
75. Uma perdiz de está pendurada em uma pereira por uma mola ideal de massa desprezível. Quando a perdiz é puxada para baixo a uma distância de abaixo da sua posição de equilíbrio é libertada, ela oscila com um período igual a . Qual é a sua velocidade quando ela passa pela posição de equilíbrio? Qual é a sua aceleração quando ela está a acima da posição de equilíbrio? Quando ela está se movendo para cima, quanto tempo é necessário para que ela se mova de um ponto abaixo de equilíbrio até um ponto acima do equilíbrio? O movimento da perdiz é interrompido e ela é removida da mola. De quanto a mola se encurta?
Passo 1
Para achar a primeira coisa que é pedida que é a velocidade no ponto de equilíbrio, vamos usara fórmula da energia mecânica total e fato de ela se conservar, a equação é a seguinte:
Só que como vamos avaliar no ponto de equilíbrio, não temos energia potencial. Assim;
Isolando a velocidade, temos:
O enunciado não nos diz o valor da constante elástica, mas podemos achar o valor do termo , através da fórmula do período, já que sabemos o valor dele, então temos o seguinte:
Encontrando o valor desse termo basta substituir na equação que achamos para a velocidade.
Para achar aceleração no ponto acima do equilíbrio, vamos utilizar a segunda lei de Newton, já que nesse ponto só temos uma força atuando que é a força elástica, logo nossa força resultante, assim:
Pronto, aparece a aceleração que queríamos saber, assim ficamos com:
O termo pode ser tirado através do que já encontramos anteriormente.
Para saber quanto tempo se leva do ponto abaixo do equilíbrio até o ponto acima do ponto de equilíbrio, vamos usar a equação da posição de um , que é dada por:
Só que nesse caso , já que em , temos , assim:
Então basta substituir o as posições que temos em e isolar o para achar em cada posição e depois fazer a diferença entre os tempos para ver quanto tempo leva de um ponto ao outro.
Para achar o quanto a mola se contraiu, vamos considerar o sistema em equilíbrio, assim a força peso da perdiz deve ser igual a força elástica, para que não haja movimento e não tenhamos força resultante, assim:
Onde é o quanto a mola se esticou depois que a perdiz foi presa nela, então esse valor será o mesmo que vai se contrair quando a perdiz for retirada.
Assim:
Passo 2
Primeiro vamos achar o valor do termo utilizando a fórmula do período, temos:
Substituindo o valor do período, temos:
Passo 3
Agora podemos encontrar a velocidade, temos a seguinte equação:
Substituindo os valores que conhecemos, ficamos com:
Passo 4
Agora vamos encontrar a aceleração no ponto acima do ponto de equilíbrio.
Temos a seguinte equação:
Só que no caso já que vamos considerar acima do ponto equilíbrio como a parte negativa, assim:
Passo 5
Agora, vamos achar o tempo para o ponto e , usando a equação da posição, temos então:
Antes, vamos lembrar que:
Vamos analisar para primeiro, então:
Assim, temos:
Vamos analisar agora para , então:
Assim, temos:
Assim temos que o tempo de um ponto ao outro é:
Passo 6
Agora vamos achar o quanto a mola se comprimiu através da seguinte fórmula:
Bem, sabemos que:
Então:
Assim nossa equação fica da seguinte maneira:
Então temos que: