Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 76
76. Um parafuso de executa um com amplitude igual a e período igual a . O deslocamento do parafuso é igual a quando . Calcule: o deslocamento do parafuso quando ; o módulo, a direção e o sentido da força que atua sobre o parafuso quando ; o tempo mínimo necessário para que o parafuso se desloque da posição inicial até um ponto ; a velocidade do parafuso quando .
Passo 1
Para esse problema o melhor caminho é através das equações da posição, velocidade em função do tempo e da aceleração do , que são respectivamente:
Para o caso que o enunciado nos dá, temos que , pois em temos .
Assim, ficamos com:
Como o enunciado não nos dá um valor para , vamos escrevê-lo de outra forma, temos que:
E
Assim, temos:
Para achar a posição em , basta substituir esse tempo na equação da posição e realizar as operações.
O módulo, a direção e o sentido da força que atua sobre o parafuso quando , basta lembrar que segundo a segunda lei de Newton temos:
E que a aceleração em podemos achar com a equação da aceleração que está mais acima.
O tempo que o parafuso leva da posição em inicial até a posição é igual ao tempo nesse ponto menos o tempo na posição inicial, mas como , na posição inicial, basta achar o tempo na posição mencionada anteriormente.
Poderemos achar isso através da equação da posição que falamos acima e isolarmos ..
E para achar a velocidade nessa mesma posição basta usar a equação da velocidade e isolarmos .
Passo 2
Vamos primeiro achar a posição para , temos o seguinte:
Substituindo o que sabemos, temos:
Lembrando que , ficamos com:
Passo 3
Agora vamos achar o módulo, a direção e o sentido da força que atua sobre o parafuso quando , para isso vamos usar a seguinte fórmula:
Lembrando que:
Assim, temos:
Substituindo o que sabemos, temos:
Lembrando que , ficamos com:
Então temos que:
E essa força aponta para direção positiva de .
Passo 4
Vamos achar o tempo para o parafuso chegar na posição e vamos achar esse tempo isolando na equação da posição. Temos:
Isolando .
Substituindo o que sabemos, temos:
Lembrando que , ficamos com:
Passo 5
Agora só resta achar a velocidade no ponto , mas na equação da velocidade não temos o presente, mas graças ao passo anterior, sabemos o valor de que podemos colocar na equação da velocidade e saber a velocidade nesse instante de tempo que é o instante da posição .
Temos o seguinte:
Substituindo o que sabemos, temos:
Lembrando que , ficamos com:
Então temos que:
Resposta
E essa força aponta para direção positiva de .