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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 49

Uma pista é montada em uma grande roda que pode girar livremente, com atrito desprezível, em torno de um eixo vertical (figura abaixo). Um trem de brinquedo de massa m é colocado na pista e, com o sistema inicialmente em repouso, a alimentação elétrica do brinquedo é ligada. O trem adquire velocidade de 0,15 m / s em relação à pista. Qual é a velocidade angular da roda se a massa é 1,1 m e o raio é 0,43 m ? (Trate a roda como um aro e despreze a massa dos raios e do cubo da roda).

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar um pouco o cálculo de conservação do momento angular?

Primeiro vamos começar pontuando cada situação. Primeiro o sistema estava em repouso, então o momento angular inicial é zero.

Após a alimentação elétrica ser ligada, roda e trem passam a girar, então temos aí momento angular! E como não há torque externo agindo sobre o sistema (trem e roda), então o momento angular total deve ser conservado, certo?

Aqui estão os dados que temos:

  • Trem: m = m , v t r e m = 0,15 m / s  
  • Roda: m r o d a = 1,1 m , r r o d a = 0,43 m

Lembrando que momento angular é o produto do momento de inércia pela velocidade angular L = I ω , então precisamos determinar os momentos de inércia tanto para o trem, quanto para a roda e a velocidade angular do trem.

Passo 2

Vamos aos momentos de inércia:

  • Trem: como ele está a uma distância r r o d a do centro do eixo de rotação, vai ter momento de inércia I = m r 2 :

    • I t r e m = m 0,43 2 = 0,185 m

  • Roda (trataremos como um aro). Se você for lá na tabela de momentos de inércia vai descobrir que o momento de inércia de um aro é m R 2 :

I r o d a = 1,1 m . 0,43 2 = 0,20 m

Agora a velocidade angular adquirida pelo trem ao ligar a alimentação elétrica:

v = ω r

ω t r e m ' = v r = 0,15 0,43 = 0,35 r a d s = ω '

Mas essa velocidade é a velocidade relativa! Ao mesmo tempo em que o trem se movimenta, a roda também se movimenta! Assim, a velocidade do trem de verdade, vai ser a velocidade relativa somado com a velocidade da roda:

ω t r e m = ω r o d a + ω '

Passo 3

Vamos agora aplicar a conservação do momento angular:

L i = L f

0 = I t r e m ω t r e m + I r o d a ω r o d a

ω r o d a = - I t r e m ( ω r o d a + ω ' ) I r o d a

ω r o d a I r o d a + I t r e m ω r o d a = - I t r e m ω '

ω r o d a = - I t r e m ω ' I r o d a + I t r e m = - m r 2 . 0,35 1,1 m r 2 + m r 2 = - 0,35 2,1 = - 0,16   r a d / s

Bora treinar mais?

Resposta

0,16   r a d / s

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