Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 22.Problemas - Ex. 56
Pode ocorrer equilíbrio estável quando forças elétricas atuam sem nenhuma outra força? No Capítulo , fornecemos diversos exemplos para o cálculo de uma força elétrica exercida sobre uma carga puntiforme por outras cargas puntiformes existentes em suas vizinhanças. Considere uma carga puntiforme positiva . Forneça um exemplo de como colocar duas outras cargas puntiformes escolhidas por você, de modo que a força elétrica resultante exercida sobre a carga seja igual a zero. Se a força elétrica sobre a carga é igual a zero, essa carga está em equilíbrio. Dizemos que o equilíbrio é estável quando, ao deslocarmos ligeiramente a carga em qualquer direção a partir da posição de equilíbrio, a força elétrica resultante empurra a carga de volta à sua posição de equilíbrio. Para que isso ocorra, qual deve ser a direção do campo elétrico produzido pelas outras cargas puntiformes existentes nas vizinhanças da carga em equilíbrio ? Suponha que a carga seja removida para uma distância muito grande das outras cargas; e imagine uma pequena superfície gaussiana centralizada no ponto onde a carga estava em equilíbrio. Aplicando a lei de Gauss para essa superfície, mostre que é impossível obter a condição de equilíbrio estável mencionada no item , supondo que existam apenas as forças elétricas atuando sobre a partícula. Em outras palavras, uma carga não pode atingir um equilíbrio estável quando sobre ela atuam forças exclusivamente eletrostáticas. Esse resultado é conhecido como teorema de Earnshaw. Os itens de até referem-se aoequilíbrio estável de uma carga puntiforme positiva . Prove o teorema de Earnshaw para uma carga puntiforme negativa .
Passo 1
Para que a força resultante em uma carga resulte em zero a partir da influência de duas outras cargas, temos que ambas devem ter a mesma carga e estar posicionadas uma em cada lado com a mesma distância a partir dela.
Então, uma forma de fazer isso é colocar duas cargas em ambos os lados da carga , tal que elas estão a uma distância da carga em equilíbrio.
Como as cargas possuem mesmo valor e sinal, irão exercer forças iguais na carga , porém de sentidos opostos que irão se “anular” e manter a força resultante nula.
Passo 2
Para o equilíbrio ser estável e a carga sempre voltar a sua posição de equilíbrio, o campo elétrico gerado pelas outras cargas deve sempre ter sentido para essa posição de equilíbrio, independente do local para onde a carga se movimente. Logo, se a carga se mover para a direita, o campo sobre ela deve apontar para a esquerda até que a posição de equilíbrio seja retomada.
Passo 3
Agora, caso essa carga se movimente para uma posição muito distante da posição de equilíbrio, fazendo uma superfície gaussiana na localização de equilíbrio dela, tal superfície deve conter uma carga que gere um fluxo negativo e que consiga “puxar/atrair” a carga de volta para a posição original, ou seja, a superfície precisa envolver uma carga negativa de intensidade suficiente.
Porém, como não há nenhuma carga negativa presente nesse caso, é impossível que a carga consiga retornar apenas sob a ação das forças elétricas das cargas .
Passo 4
Analogamente, se a carga inicial fosse negativa de valor , a condição para que ela obtenha equilíbrio estável é oposta do que foi dito para a carga positiva. Assim, o campo elétrico sobre ela deve ter sentido para fora da posição de equilíbrio.
Caso ela seja movida para um ponto muito distante das outras cargas, a superfície gaussiana na posição de equilíbrio deve envolver uma carga positiva a fim de ela atrair a carga de volta ao ponto de equilíbrio. Como isso não ocorre, a carga não poderá entrar em equilíbrio estável.
Resposta
Para o ponto de equilíbrio