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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 81

Planetas não são uniformes por dentro. Normalmente eles são mais densos no nucelo e sua densidade vai descrevendo de dentro para fora té a superfície. Modele um planeta esfericamente simétrico, de mesmo raio que a Terra, tendo uma densidade que diminui linearmente com a distancia a partir do centro. Suponha que a densidade seja 15,0 × 10 3   k g / m 3 no núcleo de 2,0 × 10 3 k g / m 3 na superfície. Qual é a aceleração da gravidade na superfície desse planeta?

Passo 1

Bom galera, nesse problema queremos bolar uma fórmula que relacione a densidade de um planeta esfericamente simétrico com o mesmo raio da terra. Depois disso a gente deve calcular a gravidade na superfície desse planeta!

Aqui você vai integrar d m d v = ρ para encontrar a massa do planeta. Fora do planeta, o planeta se comporta como um ponto massa, então na superfície g = G M / R 2 .

Uma concha esférica fina com espessura d r tem volume d V = 4 π r 2 d r . A terra tem raio

R T = 6,38 × 10 6   m .

Passo 2

Para obter M :

d m = ρ   d v

∫ d m = ∫ ρ   d v

Maaas, o planeta é esférico, e queremos uma relação com o raio. Sabemos que a derivada do volume em relação ao raio é igual a área. Então:

d v d r = A = 4 π r 2

d v = 4 π r 2   d r

Substituindo:

∫ d m = ∫ 4 ρ π r 2   d r

M = ∫ 4 ρ π r 2   d r

A densidade é ρ = ρ 0 - b r , onde ρ 0 = 15.0 × 10 3 k g / m 3 no centro e na superfície, ρ S = 2.0 × 10 3 k g / m 3 , então

b = ρ 0 - ρ S R .

Alem disso o limite de integração superior vai ser R onde R é um raio qualquer menor ou igual ao raio do planeta e 0 que é o centro do planeta. Então:

M = ∫ 0 R 4 ρ 0 - b r π r 2 d r

Passo 3

Integrando:

M = ∫ 0 R 4 ρ 0 - b r π r 2 d r = 4 π 3 ρ 0 R 3 - π b R 4

M = 4 3 π R 3 ρ 0 - π R 4 ρ 0   - ρ S R

M = π R 3 1 3 ρ 0 + ρ S

Passo 4

Agora vamos calcular a aceleração da gravidade:

g = G M R 2

Substituindo a expressão da massa:

g = G π R 3 1 3 ρ 0 + ρ S R 2

g = π R G 1 3 ρ 0 + ρ S

Substituindo:

g = π 6.38 × 10 6 m 6.67 × 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 15.0 × 10 3 k g m 3 3 + 2.0 × 10 3 k g m 3

g = 9,36 m / s 2

Prontinho!

Resposta

g = 9,36 m / s 2

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