Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 81

Planetas não são uniformes por dentro. Normalmente eles são mais densos no nucelo e sua densidade vai descrevendo de dentro para fora té a superfície. Modele um planeta esfericamente simétrico, de mesmo raio que a Terra, tendo uma densidade que diminui linearmente com a distancia a partir do centro. Suponha que a densidade seja 15,0 × 10 3   k g / m 3 no núcleo de 2,0 × 10 3 k g / m 3 na superfície. Qual é a aceleração da gravidade na superfície desse planeta?

Passo 1

Bom galera, nesse problema queremos bolar uma fórmula que relacione a densidade de um planeta esfericamente simétrico com o mesmo raio da terra. Depois disso a gente deve calcular a gravidade na superfície desse planeta!

Aqui você vai integrar d m d v = ρ para encontrar a massa do planeta. Fora do planeta, o planeta se comporta como um ponto massa, então na superfície g = G M / R 2 .

Uma concha esférica fina com espessura d r tem volume d V = 4 π r 2 d r . A terra tem raio

R T = 6,38 × 10 6   m .

Passo 2

Para obter M :

d m = ρ   d v

∫ d m = ∫ ρ   d v

Maaas, o planeta é esférico, e queremos uma relação com o raio. Sabemos que a derivada do volume em relação ao raio é igual a área. Então:

d v d r = A = 4 π r 2

d v = 4 π r 2   d r

Substituindo:

∫ d m = ∫ 4 ρ π r 2   d r

M = ∫ 4 ρ π r 2   d r

A densidade é ρ = ρ 0 - b r , onde ρ 0 = 15.0 × 10 3 k g / m 3 no centro e na superfície, ρ S = 2.0 × 10 3 k g / m 3 , então

b = ρ 0 - ρ S R .

Alem disso o limite de integração superior vai ser R onde R é um raio qualquer menor ou igual ao raio do planeta e 0 que é o centro do planeta. Então:

M = ∫ 0 R 4 ρ 0 - b r π r 2 d r

Passo 3

Integrando:

M = ∫ 0 R 4 ρ 0 - b r π r 2 d r = 4 π 3 ρ 0 R 3 - π b R 4

M = 4 3 π R 3 ρ 0 - π R 4 ρ 0   - ρ S R

M = π R 3 1 3 ρ 0 + ρ S

Passo 4

Agora vamos calcular a aceleração da gravidade:

g = G M R 2

Substituindo a expressão da massa:

g = G π R 3 1 3 ρ 0 + ρ S R 2

g = π R G 1 3 ρ 0 + ρ S

Substituindo:

g = π 6.38 × 10 6 m 6.67 × 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 15.0 × 10 3 k g m 3 3 + 2.0 × 10 3 k g m 3

g = 9,36 m / s 2

Prontinho!

Resposta

g = 9,36 m / s 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Três forças verticais atuam sobre um avião quando ele está voando a uma altura constante com velocidade uniforme. Essas forças são o peso do avião, uma força aerodinâmica sobre a asa do avião e uma fo
Um museu de arte moderna expõe uma escultura irregular de 358 N pendurando-a por dois cabos delgados verticais, A e B, que estão 1,25 m afastados um do outro (Figura 11.40). O centrode gravidade dessa
Um mastro de sustentação uniforme horizontal com comprimento de 5,0 m e pesando 200 N está articulado numa parede vertical a uma de suas extremidades. Uma dublê de cinema pesando 600 N está suspensa e
Realiza-se uma experiencia nas profundezas do espaço sideral com duas esferas uniformes de mesmo raio, uma com massa igual a 25,0 kg e a outra com massa igual a 100,0 kg. As esferas possuem raios de m
Uma betoneira carregada com cimento se desloca sobre uma ponte levadiça, onde ele enguiça em um ponto com seu centro de gravidade a três quartos a partir do início do vão elevado da ponte. O motorista