Um pote de biscoitos está subindo um plano inclinado de 40 ° . Em um ponto a 55   c m de distância da base do plano inclinado (medidos ao longo do plano), o pote possui uma velocidade de 1,4   m / s . O coeficiente de atrito cinético entre o pote e o plano inclinado é 0,15 . (a) Que distância o pacote ainda sobe ao longo do plano? (b) Qual a velocidade do bloco ao chegar novamente à base do plano inclinado? (c) As respostas dos itens (a) e (b) aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas quando o coeficiente de atrito cinético é reduzido (sem alterar a velocidade e a posição do pote)?

Passo 1

a) Tomando o instante em que o bloco está distante 55   c m da base como referencial para a energia potencial gravitacional, temos, aplicando a lei de conservação da energia

∆ E m e c + ∆ E T = 0

K 2 - K 1 + U 2 - U 1 + ∆ E T = 0

- No primeiro instante, onde o bloco está distante d = 0,55   m da base do plano

K 1 = m v 1 2 2   e   U 1 = 0

- No instante em que o bloco para, distante ( d 1 ) da base

K 2 = 0     e       U 2 = m g h 2

Com h 2 = d 1 s e n θ

K 2 = 0     e       U 2 = m g d 1 s e n θ

E a energia dissipada é dada por

∆ E T = f k ∆ x = μ k m g d 1 c o s θ

Substituindo os valores encontrados

- m v 2 2 + m g d 1 s e n θ + μ k m g d 1 c o s θ = 0

m v 2 2 = m g d 1 ( s e n θ + μ k c o s θ )

d 1 = v 2 2 g s e n θ + μ k c o s θ

Para v = 1,4   m / s , g = 9,8   m / s 2 , μ k = 0,15 e θ = 40 °

d 1 = 1,4 2 2 . 9,8 s e n 40 ° + 0,15 cos ⁡ 40 °

d 1 = 0,13   m

Passo 2

b) Aplicando a lei da conservação da energia para o ponto onde o bloco para e o instante em que ele chega na base e tomando a base do plano como referencial para a energia potencial gravitacional, teremos

K 2 - K 1 + U 2 - U 1 + ∆ E T = 0

1 2 m v 2 - m g h + μ k m g d + d 1 c o s θ = 0

1 2 m v 2 - m g d + d 1 s e n θ + μ k m g d + d 1 c o s θ = 0

1 2 m v 2 = m g d + d 1 s e n , θ - μ k m g d + d 1 c o s θ

1 2 m v 2 = m g d + d 1 s e n θ - μ k c o s θ

v =   2 g d + d 1 s e n θ - μ k c o s θ

Substituindo os valores, temos

v =   2 . 9,8 0,55 + 0,13 sen ⁡ 40 ° - 0,15 c o s 40 °

v = 2,7   m / s

Passo 3

c) Analisando a fórmula usada no item a)

d 1 = v 2 2 g s e n θ + μ k c o s θ

Temos que quanto menor o atrito, maior será o caminho percorrido, pois são inversamente proporcionais. E a velocidade também aumenta quando diminuímos o atrito, pois pela equação do item b)

v =   2 g d + d 1 s e n θ - μ k c o s θ

Percebemos que quanto menor o valor de μ k , menor será o valor subtraído de s e n θ , o que aumenta a velocidade. Dessa forma, tanto a velocidade quanto a distância aumentam com o atrito cinético reduzido.

Resposta

a) d 1 = 0,13   m

b) v = 2,7   m / s

c) Ambos aumentam

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