Um reboque para esquiadores está sendo desenhado, para uma nova área de prática de esqui. Ele deve ser capaz de puxar um máximo de 80 esquiadores em uma subida de 600   m , inclinada de 15 ° acima da horizontal, com uma rapidez de 2,50   m / s . O coeficiente de atrito cinético entre os esquis e a neve vale, tipicamente, 0,060 . Como gerente de instalações, você encomendaria ao fabricante um motor com qual potência, se a massa média de um esquiador é 75,0   k g ? Suponha que você deve estar preparado para qualquer emergência, encomendando uma potência 50 % maior do que o mínimo calculado.

Passo 1

Vamos começar representando a situação por um diagrama:

Como os esquiadores sobem o plano com rapidez constante, nós podemos garantir que as forças estão em equilíbrio em todas as direções. Então:

F = F a t + P x

F = μ k N + ( m g sen ⁡ θ )

E usando outra equação de equilíbrio, podemos afirmar que N = P y = m g cos ⁡ θ , então:

F = μ k m g cos ⁡ θ + m g sen ⁡ θ

Passo 2

Beleza, já temos uma expressão para a força, agora vamos calcular o trabalho realizado por ela, e relacionar isso com a potência do reboque:

W = P Δ t

W = P Δ x v

Onde Δ x é a distância total a ser percorrida ( 600   m ) e v é a rapidez ( 2,5   m / s ). Agora, voltando à expressão que encontramos no passo anterior, o trabalho da força F é:

W = F Δ x

Então:

W = μ k m g cos ⁡ θ + m g sen ⁡ θ Δ x

Agora vamos igualar isso à expressão que escrevemos logo antes:

P Δ x v = μ k m g cos ⁡ θ + m g sen ⁡ θ Δ x

P = μ k m g cos ⁡ θ + m g sen ⁡ θ v

P = m g v μ k cos ⁡ θ + sen ⁡ θ

Passo 3

Mas essa é apenas a potência mínima necessária, o enunciado pediu para adicionarmos uma “margem de segurança” de 50 % de potência acima do mínimo.

Então:

P = 1 + 50 % P m í n

P = 1,5   P m í n

P = 1,5 m g v μ k cos ⁡ θ + sen ⁡ θ

Agora vamos substituir os valores numéricos, lembrando que temos que considerar a massa de 80 esquiadores de 75   k g cada:

P = 1,5 ( 80 ) 75 9,81 2,5 0,060 cos ⁡ 15 ° + sen ⁡ 15 °

P = 70   k W

Resposta

Encomendaria um motor com potência de 70   k W .

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