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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 35.1 - Ex. 4

O problema do oscilador harmônico pode ser usado para descrever as vibrações das moléculas. Por exemplo, verificou-se que a molécula de hidrogênio H2 tem níveis de energia vibracional igualmente espaçados, separados por 8,7 × 10–20 J. Qual valor da constante de força da mola seria necessário para obter esse espaçamento de energia, assumindo que metade da molécula possa ser modelado como um átomo de hidrogênio ligado a uma extremidade de uma mola que tem sua outra extremidade fixa? Dica: o espaçamento para os níveis de energia dessa meia molécula seria metade do espaçamento para os níveis de energia da molécula completa. Além disso, a constante de força de uma mola é inversamente proporcional ao seu comprimento relaxado; portanto, se metade da mola possui força constante k, toda a mola possui uma constante de força igual a 1/2 k

Passo 1

Bem, lááá do movimento harmônico, temos essa equação para relacionar a constante da mola, com sua massa e a frequência angular:

ω = k m

ω 2 = k m

∴

k = ω 2 m

Além disso, temos que as transições de energia são dadas pela relação de Einstein:

∆ E = h f

De onde, podemos tirar do movimento harmônico que ω = 2 π f → = ω 2 π :

∆ E = h ω 2 π

Opa, podemos só fazer isso aqui ℏ = h 2 π :

∆ E = ℏ ω

∴

ω = ∆ E ℏ

E, substituindo isso na equação para a constante da mola:

k = m ∆ E ℏ 2

Agora é só substituir m = 1 u = 1,661 ∙ 10 - 27   k g , ℏ = 1,055 ∙ 10 - 34   J ∙ s e ∆ E = 8,7 ∙ 10 - 20   J :

k = 1,661 ∙ 10 - 27 8,7 ∙ 10 - 20 1,055 ∙ 10 - 34 2

∴

k = 1100   N / m

Resposta

k = 1100   N / m

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