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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 13a

13a – Verifique que a função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônico linear unidimensional, dada na Tabela 9.1, é uma solução da equação de Schrödinger do oscilado e que a energia correspondente é

1 2 ħ ω

Passo 1

Vamos rever que a função de onda de um oscilador harmônico simples é dada pela seguinte expressão:

ψ = N v H v ( y ) exp ⁡ ( - 0,5 y 2 )

Onde,

-ψ é a função de onda;

-Nv é uma constante de normalização;

-Hv é um fator que depende do deslocamento x e é dado em forma de polinômios de Hermite, para cada nível do estado de energia.

-y é definido em função do deslocamento x, pela seguinte expressão

y = x m ω ħ 1 2

Onde,

-m é a massa da partícula;

-x é o deslocamento da partícula;

-ħ é a constante de Planck, h, divido por 2π:

ħ = h 2 π

-ω é um parâmetro definido em função da massa, m, da partícula e da constante de proporcionalidade da energia potencial do sistema, k, que é definida como:

ω = k m 1 2

Passo 2

Agora que revemos a função de onda de um oscilador harmônico, vamos ver como provar a relação dita no enunciado.

Primeiro vamos pegar na Tabela 9.1 o polinômio de Hermite do estado fundamental, que é o estado de menor energia, para ν=0, que pela Tabela 9.1 é

H 0 y = 1

Assim, a função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônico linear unidimensional tem a seguinte expressão:

ψ = N 0 exp ⁡ ( - 0,5 y 2 )

Onde,

-N0 é a constante de normalização do estado fundamental;

Então, para você verificar se essa função de onda tem solução da Eq. de Schrödinger dada por 1 2 ħ ω , você deve substituir a expressão da função de onda dentro da Eq. de Schrödinger e fazer os cálculos e verificar se a resposta que você chegou é a mesma.

Passo 3

Lembrando que a Eq. de Schrödinger é a seguinte:

H ^ ψ = - ħ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ψ

Onde,

- H ^ , é o operador hamiltoniano;

Vamos precisar derivar a função de onda ψ em relação a x duas vezes.

d 2 ψ d x 2 = d d x   d ψ d x

Para facilitar a o processo de derivação, vamos fazer o seguinte com a derivada:

d ψ d x = d ψ d y d y d x

Lembrando que y é:

y = x m ω ħ 1 2

Assim,

d ψ d x = d d y N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2 d d x x m ω ħ 1 2

Passo 4

Resolvendo as derivadas:

d d y N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2 = - y N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2

d ψ d y = - y N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2

d y d x = d d x x m ω ħ 1 2 = m ω ħ 1 2

Assim,

d ψ d x = - m ω ħ 1 2 y N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2

Passo 5

Agora a derivada segunda:

Analogamente, vamos usar a mesma estratégia para facilitar a derivação

d 2 ψ d x 2 = d 2 ψ d y 2 d y d x 2

d 2 ψ d y 2 = d d y d ψ d y = d d y - y N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2

d d y - y N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2 = - N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2 + y N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2 y

d d y - y N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2 = - N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2 + y 2 N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2 = N 0 ( y 2 - 1 ) exp ⁡ - 0,5 y 2

d 2 ψ d y 2 = N 0 ( y 2 - 1 ) exp ⁡ - 0,5 y 2

d y d x 2 = m ω ħ 1 2 2 = m ω ħ

Logo,

d 2 ψ d x 2 = d 2 ψ d y 2 d y d x 2 = m ω ħ N 0 ( y 2 - 1 ) exp ⁡ - 0,5 y 2

Passo 6

Substituindo na Eq. de Schrödinger:

H ^ ψ = - ħ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ψ

H ^ ψ = - ħ 2 2 m m ω ħ N 0 ( y 2 - 1 ) exp ⁡ - 0,5 y 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ψ

H ^ ψ = - ħ ω 2 N 0 ( y 2 - 1 ) exp ⁡ - 0,5 y 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ψ

H ^ ψ = ħ ω 2 N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2 - ħ ω 2 y 2 N 0 exp ⁡ - 0,5 y 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ψ

Lembrando que:

ψ = N 0 exp ⁡ ( - 0,5 y 2 )

Assim,

H ^ ψ = ħ ω 2 ψ - ħ ω 2 y 2 ψ + 1 2 m ω 2 x 2 ψ

Lembrando também que:

y = x m ω ħ 1 2

x = y m ω ħ - 1 2

x 2 = y 2 ħ m ω

Assim,

H ^ ψ = ħ ω 2 ψ - ħ ω 2 y 2 ψ + 1 2 m ω 2 y 2 ħ m ω ψ

H ^ ψ = ħ ω 2 ψ - ħ ω 2 y 2 ψ + ω ħ 2 y 2 ψ

H ^ ψ = ħ ω 2 ψ

H ^ = ħ ω 2

Portanto, a função de onda é solução da equação de Schrödinger quando o valor da energia do sistema é:

E = 1 2 ħ ω

Chegamos então na relação mostrada no enunciado.

Resposta

E = 1 2 ħ ω

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