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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 8.1 - Ex. 75

Um projétil de 3,00 k g é disparado com uma rapidez inicial de 120 m / s a um ângulo de 30 ° com a horizontal. No topo de sua trajetória, o projetil explode e se divide em dois fragmentos, de masses 1,00 k g e 2,00 k g . Decorridos 3,60 s da explosão, o fragmento de 2,00 k g chega ao chão diretamente abaixo do ponto da explosão. (a) Determine a velocidade do fragmento de 1,00 k g imediatamente após a explosão. (b) Determine a distância entre o ponto do lançamento do projétil e o ponto no qual o fragmento de   1,00 k g atinge o chão. (c) Determine a energia liberada na explosão.

Passo 1

Nessa questão a gente tem um projétil sendo lançado. Lá em cima, no ponto mais alto, ele explode em dois fragmentos. A gente quer determinar algumas coisas relacionadas a essa explosão, tipo como vão se comportar os dois fragmentos depois de se separarem. Vamos ver o que dá pra fazer!

Passo 2

  1. Primeira coisa que a gente tem que pensar é em montar uma equação de quantidade de movimento. Vamos pensar em alguns detalhes antes: o enunciado fala que o projétil explodiu no ponto mais alto de sua trajetória. A gente sabe lá do capitulo de lançamentos que no ponto mais alto, a velocidade é só horizontal, e é calculada por v x = v 0 c o s θ = 120 c o s 30 ° . Como um dos fragmentos caiu diretamente para baixo, fica claro que vamos ter que trabalhar com a quantidade de movimento em duas direções. Vou chamar de 1 o bloco de 1 k g e de 2 o bloco de 2 k g .

    2. M v x → = M v x i → = m 1 v 1 → + m 2 v 2 →  

    3 v x → = v 1 → + 2 v 2 →

    Concorda comigo que o fragmento 2 só tem velocidade vertical? Ou seja, v 2 x = 0 , isso porque ele cai no ponto exatamente abaixo do ponto de explosão. Como ele vai pra baixo, a velocidade em y vai ser negativa.

    3 v x i → = v 1 x i → + v 1 y j → - 2 v 2 j →

    Logo v 1 x = 3 v x , e v 1 y = 2 v 2 y .

    v 1 x = 3 v x = 3 × 120 c o s 30 ° = 312 m / s

    Passo 3

    Vamos lembrar de outra fórmula lá do capítulo de lançamentos, aquela que fala da altura máxima alcançada em um lançamento oblíquo.

    h m a x = v 0 s e n θ 2 2 g = 120 × s e n 30 ° 2 2 × 9.81 = 183.5 m

    Sabendo a altura em que ocorre a explosão, podemos olhar para a queda do fragmento   2 .

    h = v 2 t + g t 2 2

    Já temos todos os dados! h = 183.5 m e t = 3.60 s , do enunciado.

    183.5 = v 2 × 3.60 + 9.81 × 3.60 2 2

    v 2 = 33.31 m s

    Como obtivemos lá em cima:

    v 1 y = 2 v 2 y = 66.62 m s

    v 1 → = 312 i → + 66.6 j → m s

    Passo 4

  2. A velocidade horizontal viajada pelo fragmento de 1kg vai ser:

    3. d = Δ x + Δ x '

    Δ x = v 0 c o s θ Δ t s u b i d a

    Como já sabemos lá dos lançamentos:

    Δ t s u b i d a = v y 0 g = v 0 s e n θ g = 120 s e n 30 ° 9.81 = 6.116 s

    Δ x = 120 c o s 30 ° × 6.116 = 635.6 m s

    Δ x ' = v 1 x Δ t '

    Δ y = v 1 y Δ t ' - g Δ t ' 2 2

    Δ t ' 2 - 13.6 Δ t ' - 37.4 = 0

    Δ t ' = 15.945 s

    Δ x ' = 312 × 15.945 m

    Logo,

    d = Δ x + Δ x ' = 5.6 k m

    Passo 5

  3. A energia liberada na explosão é dada por:

E e x p l o s ã o = Δ K = K f - K i

Calculando a energia cinética final:

K f = K 1 + K 2 = 1 × ( 312 2 + 66 2 ) 2 + 2 × 33.3 2 2 = 52.0 K J

A energia cinética no momento anterior à explosão é:

K i = 3 × 120 c o s 30 ° 2 2 = 16.2 K J

Logo,

E e x p l o s ã o = 35.8 K J

Resposta

a) v 1 → = 312 i → + 66.6 j → m s

b)

d = 5.6 k m

c)

E e x p l o s ã o = 35.8 K J

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