Enunciado

Um projetista de páginas da Internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição r → = [ 4,0 c m + ( 2,5 c m / s 2 ) t 2 ] i ^ + ( 5,0 c m / s ) t   j ^ a) Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade média do ponto para o intervalo entre t 1 = 0 e t 2 = 2,0 s . b) Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade instantânea para t 1 = 0 e t 2 = 2,0 s . c) Faça um desenho da trajetória do ponto no intervalo entre t 1 = 0 e t 2 = 2,0 s e mostre as velocidades calculadas em (b)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar (a) o módulo, a direção e o sentido da velocidade média do ponto para o intervalo entre t 1 = 0 e t 2 = 2,0 s . b) a velocidade instantânea para t 1 = 0 e t 2 = 2,0 s c) fazer um desenho da trajetória do ponto no intervalo entre t 1 = 0 e t 2 = 2,0 s .

Pra isso, temos que lembrar que a velocidade instantânea é a derivada da função posição r → = [ 4,0 c m + ( 2,5 c m / s 2 ) t 2 ] i ^ + ( 5,0 c m / s ) t   j ^ , ou seja:

v → = d r → d t

A velocidade média, , será o quociente entre a variação da posição Δ x (ou Δ y ) e a variação de tempo Δ t . Então, basta substituir os valores de t do intervalo considerado na nossa função para obtermos valores da posição naquele instante. Por fim, faremos um gráfico da posição r → para os valores de t do intervalo.

Vamos lá!

Passo 2

a) Temos que:

r → = [ 4,0 c m + ( 2,5 c m / s 2 ) t 2 ] i ^ + ( 5,0 c m / s ) t   j ^

E a partir deste podemos calcular x e y para qualquer t .

Então, para t = 0 temos

r → = 4,0 c m

E para t = 2 s :

r → = ( 14 c m ) i ^ + ( 10 c m / s ) j ^

Agora vamos calular o ∆ t , ∆ x e ∆ y , subtraindo o ponto final do inicial:

∆ t = 2 s - 0 = 2 s

∆ x = 14 c m - 4 c m = 10 c m

∆ y = 10 c m - 0 = 10 c m

Passo 3

E então podemos calcular a velocidade média de x e y :

Em x :

v m é d i a x = ∆ x ∆ t

v m é d i a x = 10 c m 2 s

v m é d i a x = 5 c m / s

Em y :

v m é d i a y = ∆ y ∆ t

v m é d i a y = 10 c m 2 s

v m é d i a y = 5 c m / s

Dessa forma, o modulo da velocidade média pode ser calculado por:

v = v m é d i a x 2 + v m é d i a y 2

v = 5 m 2 + 5 c m 2

v = 7,1 c m / s

E para encontrar o modulo, fazemos:

tan ⁡ α = v m é d i a y v m é d i a x

tan ⁡ α = 5 c m 5 c m = 1

α = tan - 1 ⁡ 1

α = 45 °

Passo 4

b) Vamos derivar r → para que possamos encontrar a velocidade instantânea:

v → = d r → d t = ( 5 c m / s 2 ⋅ t )   i ^ + ( 5 c m / s 2 )   j ^

Para t = 0 : v x = 0 v y = 5 c m / s ⇒ v = 5 c m / s e α = 90 °

Para t = 1 s : v x = 5 c m / s v y = 5 c m / s ⇒ v = 7,1 c m / s e α = 45 °

Para t = 2 s : v x = 10 c m / s v y = 5 c m / s ⇒ v = 11 c m / s e α = 27 °

Passo 5

c) Agora vamos esboçar a trajetória no gráfico de y versus x :

O esboço mostra que a velocidade instantânea em qualquer   t é tangente à trajetória.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. v = 7,1 c m / s e direção 45 °
  2. Para t = 0 ⇒ v = 5 c m / s e α = 90 °
  3. Para t = 1 s ⇒ v = 7,1 c m / s e α = 45 °

    Para t = 2 s ⇒ v = 11 c m / s e α = 27 °

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