Enunciado
Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 61
a) Prove que um projétil lançado em um ângulo possui o mesmo alcance horizontal de outro lançado com a mesma velocidade em um ângulo .
b) Uma rã salta com uma velocidade de e chega ao solo a de distância de seu ponto inicial. Para que ângulos acima da horizontal ela poderia ter saltado?
Passo 1
Olá tudo bem? Vou ajudar você nessa questão. Dando uma espiadela no exemplo do livro texto, vamos ver que ele apresenta uma fórmula para o alcance horizontal. E essa fórmula é essa aqui ó:
Vamos chamar de o alcance obtido pelo projétil lançado com ângulo inicial , ok? E de o alcance do outro, lançado com um ângulo . Assim os alcances e são:
Beleza?
Passo 2
A ideia é mostrar que , então precisamos reescrever a expressão para o segundo alcance. Ou seja, precisamos reescrever e .
Vamos dar uma olhadinha nas relações trigonométricas, na parte das fórmulas de adição, começando pelo seno:
E com e e sabendo que e , podemos reescrever a expressão de uma forma mais simples, saca só:
E agora o cosseno:
E novamente com e e sabendo que e , podemos reescrever a expressão de uma forma mais simples, saca só:
Agora substituindo em teremos a forma mais simples:
E podemos reorganizar os termos sem mudar nada, pois na multiplicação a ordem não importa. Então trocando seno de lugar com o cosseno teremos:
Que é a mesma expressão para !
Passo 3
Usando a fórmula reduzida para o alcance:
Com os seguintes dados:
É só substituir para determinar os ângulos possíveis:
Então o menor ângulo vai ser:
E o maior vai ser:
Aqui atenção! Normalmente para o maior ângulo fazemos , mas aqui como o argumento do seno está mais rápido, o valor se repete com na metade do caminho em .