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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 25.Problemas Adicionais - Ex. 68

Os raios de um capacitar cilíndrico como o da Fig. 25-6 são a e b . Mostre que metade da energia potencial elétrica armazenada está no interior de um cilindro de raio r = a b .

Passo 1

Um capacitor cilíndrico de comprimento ( L ) , com um cilindro sólido de raio ( a ) e uma casca externa de raio ( b ) , como mostrado na figura. Cada placa tem uma carga de magnitude ( q ) .

Passo 2

Primeiramente, vamos escrever a equação para o campo elétrico do cilindro:

E = q 2 π ε 0 L r

Também, temos que a densidade de energia dentro de um capacitor é:

u = ε 0 E 2 2 = ε 0 2 q 2 π ε 0 L r 2

u = 1 2 q 2 4 π 2 ε 0 L 2 r 2

A energia armazenada no cilindro é a integral de volume da densidade de energia:

U = ∫ u d V

O volume da superfície Gaussiana é

V = π r 2 L

d V = 2 π r L d r Como a densidade de energia só depende do raio,

U = 2 π L ∫ a R u r d r

Sabendo que

u = 1 2 ε 0 E 2

Retirando as constantes da integral:

U = 2 π L ∫ a R 1 2 q 2 4 π 2 ε 0 L 2 r 2 r d r

U = q 2 4 π ε 0 L ∫ a R d r r

U = q 2 4 π ε 0 L l n R - l n a

U = q 2 4 π ε 0 L l n R a

Para calcular a energia até o ponto b, temos:

U b = q 2 4 π ε 0 L l n b a

Passo 3

Finalmente, para encontrar a relação do enunciado, vamos calcular a razão entre a energia em um ponto com distância R até o eixo do cilindro, com metade da energia total do cilindro, e a energia total do cilindro:

U R U b = 1 2

U R = 1 2 U b

l n R a = 1 2 l n b a

R a = b a

R = a b a

R = b a

Resposta

R = b a

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