Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 20.1 - Ex. 29
Um recipiente é preenchido até a borda com 1,4 L de mercúrio a 20ºC. Enquanto a temperatura do recipiente e do mercúrio aumenta até 60 ºC, um total de 7,5 mL de mercúrio transborda do recipiente. Determine o coeficiente de expansão linear do material de que é feito o recipiente.
Passo 1
Oláaa, querido! Vamos entender esse enunciado! A gente tem inicialmente a temperatura de e um que recipiente está preenchido até a borda com mercúrio. Ou seja, o volume interno do recipiente é igual ao volume de mercúrio:
Depois, chegamos à temperatura de .
Por causa dessa variação de temperatura sofrida tanto pelo recipiente quanto pelo mercúrio, ambos se expandem. No entanto, o mercúrio se expande mais que o recipiente a ponto de transbordar 7,5 mL.
Como eles tinham inicialmente o mesmo volume, a gente pode escrever que a diferença entre essas duas variações de volume causadas pela temperatura vai ser a quantidade de mercúrio que transborda:
Se lembram como se calcula a variação volumétrica?
Sendo que é o nosso volume inicial do corpo, é variação de temperatura que é a mesma para os dois corpos e é o coeficiente volumétrico de expansão térmica.
Mas calma, o enunciado quer que a gente ache o coeficiente linear de expansão térmica do material que forma o recipiente, então ele quer que a gente ache . O que fazemos então? Tá tudo bem, porque o coeficiente volumétrico se relaciona com o linear assim
Substituindo isso na nossa expressão:
A ideia é a gente usar essa expressão e os dados que a gente tirou do enunciado para achar para o recipiente, tudo bem? Bora lá então!
Passo 2
Vamos partir da relação que a gente escreveu entre as duas variações de volume que achamos pelo enunciado:
A expressão da variação volumétrica é essa aqui
Substituindo na expressão do enunciado:
Sendo que é o coeficiente linear de expansão térmica do mercúrio e é o do recipiente.
Como a variação da temperatura é a mesma, já que eles estão em contato. E já que o volume inicial dos dois é o mesmo, podemos reescrever:
Isolando o coeficiente linear do recipiente, porque queremos achar esse cara:
Passo 3
Agora vamos às variáveis.
A variação de temperatura é dada por
Percebe que variações de temperatura em celsius e kelvin são iguais, por isso a gente já fez essa mudança de unidade. E também porque precisamos usar kelvin na fórmulinha de expansão.
Na Tabela 20-1 temos os coeficientes para cada material. Lá temos o coeficiente volumétrico do mercúrio. Então podemos escrever algo assim:
Então:
Passo 4
Substituindo esses dados na nossa expressão: