Enunciado
Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 83
Uma régua de um metro e massa igual a 0,160 kg possui um pivô em uma de suas extremidades de modo que ela pode girar sem atrito em torno de um eixo horizontal. A régua é mantida em uma posição horizontal e a seguir é libertada. Enquanto ela oscila passando pela vertical, calcule a) a variação da energia potencial gravitacional ocorrida; b) a velocidade angular da régua; c) a velocidade linear na extremidade da régua oposta ao eixo. d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade de um objeto caindo de uma altura de 1,0 m a partir do repouso.
Passo 1
Analisando o problema, primeira coisa que devemos entender, que o movimento de um dado corpo, deve ser medido a partir de seu centro de massa (CM). Como nenhuma informação sugere que a densidade da régua vária com a posição, entendemos que o centro de massa se encontra na posição central da régua, ou seja, seu centro geométrico:
Passo 2
A Variação da Energia Potêncial é dada pela seguinte relação:
onde é a massa do corpo, é a aceleração da gravidade e é a variação da posição do centro de massa.
Então
Passo 3
Para resolvermos o item b, devemos considerar o princípio da conservação de energia, ou seja
tal que
Onde é a energia cinética, é a Energia Potência e o trabalho perdido.
Como o enunciado nos indica que não há atrito,
Outra condição importante de se observar é que, como inicialmente a régua se encontra parada,
Logo podemos resumir
Como a régua está presa sobre uma de suas extremidades, a única energia cinética que teremos é a energia de rotação, ou seja
Implicando que
O momento de Inércia de uma barra, girando-a por uma de suas extremidades será de
Implicando que
Passo 4
Como em um movimento circular a velocidade angular é a mesma para qualquer ponto, e sabendo que
para calcularmos a velocidade na extremidade, basta tomarmos
Passo 5
Para um corpo caindo de uma altura de um metro a partir do repouso, temos que, pela conservação de energia, a energia cinética inicial será nula, assim como a energia potencial final. Isso nos dá que,
a velocidade final é dada pela seguinte relação
Temos que, se soltássemos a régua, de modo a ela cair igualmente em todos os ponto, sua velocidade final, seria menor do que do de uma de suas extremidades, caso a gente prendêssemos a outra, assim como foi sugerido no enunciado. Isso se dá porque, para o caso da régua cair livremente, todos os pontos carregam uma energia igual, ou seja, a régua distribui sua energia igualmente por todos os pontos. Para o caso de se prender uma de suas extremidades, existiram pontos que iram se movimentar com uma velocidade menor do que outros e assim buscando compensar a energia da régua, a velocidade na extremidade livre deve ser maior que no caso da queda livre.
Resposta
a)
b)
c)