Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 6
(a) Mostre que, para uma onda sonora harmônica de frequência angular , em três dimensões, num fluido cuja densidade de equilíbrio é , o deslocamento (que neste caso é um vetor!) está relacionado com a pressão por: . (b) Considere uma onda sonora harmônica que se propaga no semi-espaço , com , e suponha que o plano é uma parede fixa, rígida. Mostre, utilizando o resultado da parte (a), que tem de satisfazer a condição de contorno para , qualquer que seja . Em particular, isto vale na extremidade fechada de um tubo de órgão.
Passo 1
(a) Aqui vamos ter que usar uma equação que vimos na parte de hidrodinâmica do livro.
Onde é a densidade do fluido, é a aceleração de uma partícula no fluido, é a densidade de força e é a pressão.
Quando aplicamos essa equação para uma onda sonora, a densidade de força é nula, porque nenhuma força externa é aplicada:
Agora vamos tentar escrever esse vetor e, função do deslocamento .
Passo 2
Para uma onda em três dimensões, o vetor de deslocamento é:
E a aceleração é simplesmente a segunda derivada desse vetor em relação ao tempo:
E derivando mais uma vez:
Agora podemos substituir isso na fórmula de cima:
Que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Passo 3
(b) Vamos escrever um lado da equação que acabamos de demonstrar em termos das componentes e :
Vamos pegar apenas a componente dessa igualdade (isso é o mesmo que fazer o produto interno dos dois lados por ):
Se é uma parede fixa e rígida, então em temos :
Que é o que queríamos demonstrar.
Resposta
Demonstração.