(a) Mostre que, para uma onda sonora harmônica de frequência angular ω , em três dimensões, num fluido cuja densidade de equilíbrio é ρ 0 , o deslocamento u → (que neste caso é um vetor!) está relacionado com a pressão por: g r a dp = ρ 0 ω 2 u → . (b) Considere uma onda sonora harmônica que se propaga no semi-espaço x0 , com p = p x , y , z , t , e suponha que o plano x = 0 é uma parede fixa, rígida. Mostre, utilizando o resultado da parte (a), que p tem de satisfazer a condição de contorno ∂ p / ∂ x = 0 para x = 0 , qualquer que seja t . Em particular, isto vale na extremidade fechada de um tubo de órgão.

Enunciado

(a) Aqui vamos ter que usar uma equação que vimos na parte de hidrodinâmica do livro.

Onde é a densidade do fluido, é a aceleração de uma partícula no fluido, é a densidade de força e é a pressão.

Quando aplicamos essa equação para uma onda sonora, a densidade de força é nula, porque nenhuma força externa é aplicada:

Agora vamos tentar escrever esse vetor e, função do deslocamento .

Para uma onda em três dimensões, o vetor de deslocamento é:

E a aceleração é simplesmente a segunda derivada desse vetor em relação ao tempo:

E derivando mais uma vez:

Agora podemos substituir isso na fórmula de cima:

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

(b) Vamos escrever um lado da equação que acabamos de demonstrar em termos das componentes e :

Vamos pegar apenas a componente dessa igualdade (isso é o mesmo que fazer o produto interno dos dois lados por ):

Se é uma parede fixa e rígida, então em temos :

Que é o que queríamos demonstrar.

Demonstração.