Resistir à tensão. Um fio ou corda se romperá se for submetido a muita tensão (Equação 11.8). Cordas mais grossas podem resistir a uma tensão maior sem se romper porque, quanto mais grossa a corda, maior é a área transversal e menor a tensão. Um tipo de aço possui densidade igual a 7.800 kg/m3 e uma tensão de ruptura igual a 7,0 X 108 N/m2. Você deseja fabricar uma corda de violão usando 4,0 g desse aço. A corda deve poder resistir a uma tensão de 900 N sem se romper. Sua tarefa é determinar: (a) o comprimento máximo e o raio mínimo que a corda pode ter; (b) a frequência fundamental mais alta possível das ondas estacionárias na corda, se toda a extensão da corda estiver livre para vibrar.

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para resolver este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre ondas mecânicas em que usaremos as seguintes equações:

f 1 = v 2 L     e     σ r = F π r 2

Em que é f 1 a frequência fundamental, v   é a velocidade da onda sendo que

v = F μ

L é o comprimento da onda, σ r é a tensão de ruptura, F é uma força aplicada e r é o raio da corda.

Passo 2

(a) Neste item, determinaremos o comprimento máximo e o raio mínimo que a corda pode ter.

Começaremos a resolução deste item isolando o raio na equação da tensão de ruptura e substituindo os valores conhecidos. Assim:

r = F π σ r = 900 π 7,0 × 10 8

r = 6,4 × 10 - 4   m

Passo 3

Uma vez determinado o raio mínimo e lembrando que a massa e a densidade são parâmetros fixados pela expressão ρ = M / π r 2 L , utilizando o raio mínimo nessa equação obtemos o máximo comprimido que a corda pode ter. Deste modo, tem-se que:

L = M π r 2 ρ = 4,0 × 10 - 3 π 6,4 × 10 - 4 2 ( 7800 )

Portanto, o comprimento máximo que a corda pode ter é

L = 0,40   m

Passo 4

(b) Por fim, neste item, calcularemos a frequência fundamental mais alta possível das ondas estacionárias na corda, considerando que toda a extensão da corta está livre para vibrar.

Para isso, aplicaremos a primeira equação citada no passo 1. Utilizando-a:

f 1 = v 2 L = 1 2 L F μ

f 1 = 1 2 L F M L = 1 2 F M L

Substituindo os valores

f 1 = 1 2 900 4,0 × 10 - 3 0,40

f 1 = 376   H z

Resposta

Portanto, o comprimento máximo e o raio mínimo que a corda pode ter, são, respectivamente,

L = 0,40   m

r = 6,4 × 10 - 4   m

Deste modo, tem-se que a frequência fundamental mais alta possível das ondas estacionárias na corda, considerando que toda a extensão da corta está livre para vibrar é f 1 = 376   H z .

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