Uma roda cilíndrica homogênea de raio R e massa M , rola sem deslizar sobre um plano horizontal, deslocando-se com velocidade v , e sobe sobre um plano inclinado de inclinação θ , continuando a rolar sem deslizamento (Fig.). Até que altura h o centro da roda subirá sobre o plano inclinado?

Passo 1

Nessa questão, vamos conservar energia, se liga só:

K i + U i = K f + U f

Como a roda rola sem deslizar e se move em translação também, inicialmente, o bloco tem energia cinética

K i = I ω 2 2 + M v 2 2

E sua energia potencial gravitacional é

U i = M g R

Isso porque, mesmo antes de subir o plano, a altura do seu centro de massa é igual ao raio do cilindro.

Agora, quando o centro de massa atinge a altura máxima h a energia cinética do cilindro será nula, já que ela para, então

U f = M g h

K f = 0

Voltando com esses valores na equação para conservação de energia

I ω 2 2 + M v 2 2 + M g R = 0 + M g h

Passo 2

Como v = ω R :

I ( v R ) 2 2 + M v 2 2 + M g R = M g h

Como I = 1 2 M R 2 , de acordo com a tabela de momentos de inércia:

M R 2 2 ⋅ v 2 R 2 ⋅ 1 2 + M v 2 2 + M g R = M g h

Assim, isolando o h :

h = R + 3 4 ⋅ v 2 g

Resposta

h = R + 3 4 ⋅ v 2 g

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