O sangue flui a 30 cm/s em uma aorta de 9,0 mm de raio. (a) Calcule a vazão volumétrica em litros por minuto. (b) A seção reta de um vaso capilar tem uma área muito menor do que a da aorta; mas há muitos vasos capilares, e portanto, sua área total de seção reta é muito maior. Se todo o sangue da aorta escoa para os vasos capilares e se a rapidez de escoamento através deles é 1,0   m m / s calcule a área total de seção reta dos vasos capilares.

Passo 1

a) Queremos a vazão volumétrica, certo? Então vamos usar a fórmulinha dela:

I v = A v

Onde:

I v é a vazão;

A é a área da secção;

v é a velocidade de escoamento do fluido.

Como ele deu um raio para a seção transversal da aorta,

r = 9   m m = 9 ⋅ 10 - 3 m

Vamos considerar que a aorta é como se fosse uma mangueira por onde o sangue passa. Se cortamos um pedacinho dela, o corte ficará no formato circular, assim a seção transversal será circular, e podemos calcular a sua área fazendo:

A = π r 2

Agora que já temos o formato da seção reta, é só correr pro abraço e substituir nossos dados na fórmula da vazão que era:

I v = A v

I v = π r 2   v

Usando os dados que o enunciado deu. Vamos passar a velocidade para metros por segundo:

v = 30 m/s = 30 ⋅ 10 - 2 m/s

Vamos substituir os valores dados na questão na fórmula de vasão. Lembrando que:

r = 9 ⋅ 10 - 3 m

v = 30 ⋅ 10 - 2 m/ s

I v = A v

Assim ficamos com:

I v = π 9 ⋅ 10 - 3 2   × ( 30 ⋅ 10 - 2 )

I v = 7630 ⋅ 10 - 8   m 3 /s

Passo 2

Agora a gente precisa passar isso para L / m i n como ele pediu no enunciado.

Lembrando que:

1 L = 0,001 m 3

Como achamos a vasão em m 3 / s , nós vamos isolar o m 3 :

m 3 = 1 0,001 L

Agora vamos fazer a mesma coisa para o tempo, lembrando que:

1 m i n = 60 s

Isolando o segundo:

1 s = 1 60 m i n

Agora vamos pegar nosso resultado e fazer a conversão das unidades uma a uma, sendo:

 m³/s   = m³ ⋅ 1 s

m³ ⋅ 1 s = 1 0,001 L ⋅ 1 1 60 m i n

Assim:

I v = 7630 ⋅ 10 - 8 1 0,001 L ⋅ 1 1 60 m i n

I v = 7630 ⋅ 10 - 8 ⋅ 1 0,001 ⋅ L m i n

Podemos subir o 0,001 como 10 3

I v = 7630 ⋅ 10 - 8 ⋅ 60 ⋅ 10 3  L/min

E agora é só calcular:

I v = 4,578 L/min

Prontinho, arredondamos e colocamos no formato que o enunciado pediu

I v = 4,6   L/min

Passo 3

Para resolver a letra b) iremos considerar como ele disse que os vasos capilares formam juntos um único tubo com a seção reta bem grande. Aí queremos a seção desse tubo, que representa a seção total de todos os capilares.

Ele diz que podemos considerar também que todo sangue sai da aorta e vai para os capilares, ou seja, há conservação de volume. Por isso, podemos usar a equação da continuidade de volume

I v a o r t a = I v c a p i l a r e s

A quantidade de sangue que sai da aorta vai ser a mesma que entra nos capilares. Logo a vazão volumétrica é sempre a mesma. Já achamos I v a o r t a no item anterior

I v a o r t a = 7630 ⋅ 10 - 8 m 3 / s

Então podemos substitui-lo na equação da conservação

7630 ⋅ 10 - 8 = I v c a p i l a r e s

Podemos substituir a expressão da vazão I v = A v no lado direito da nossa equação, sendo v

v = 1,0 m m s = 1 ⋅ 10 - 3 m / s  

a velocidade do sangue nos capilares e A a área da seção, que queremos achar

7630 ⋅ 10 - 8 = A v

7630 ⋅ 10 - 8 = A ⋅ 1 ⋅ 10 - 3

Queremos encontrar a área de secção dos vasos capilares, logo vamos isolar A :

A = 7630 ⋅ 10 - 8 1 ⋅ 10 - 3

A = 7,6 ⋅ 10 - 2 m 2

Resposta

a) I v = 4,6   L / m i n

b) A = 7,6 ⋅ 10 - 2 m 2

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