Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 13.1 - Ex. 57
O sangue flui a 30 cm/s em uma aorta de 9,0 mm de raio. (a) Calcule a vazão volumétrica em litros por minuto. (b) A seção reta de um vaso capilar tem uma área muito menor do que a da aorta; mas há muitos vasos capilares, e portanto, sua área total de seção reta é muito maior. Se todo o sangue da aorta escoa para os vasos capilares e se a rapidez de escoamento através deles é calcule a área total de seção reta dos vasos capilares.
Passo 1
a) Queremos a vazão volumétrica, certo? Então vamos usar a fórmulinha dela:
Onde:
é a vazão;
é a área da secção;
é a velocidade de escoamento do fluido.
Como ele deu um raio para a seção transversal da aorta,
Vamos considerar que a aorta é como se fosse uma mangueira por onde o sangue passa. Se cortamos um pedacinho dela, o corte ficará no formato circular, assim a seção transversal será circular, e podemos calcular a sua área fazendo:
Agora que já temos o formato da seção reta, é só correr pro abraço e substituir nossos dados na fórmula da vazão que era:
Usando os dados que o enunciado deu. Vamos passar a velocidade para metros por segundo:
Vamos substituir os valores dados na questão na fórmula de vasão. Lembrando que:
Assim ficamos com:
Passo 2
Agora a gente precisa passar isso para como ele pediu no enunciado.
Lembrando que:
Como achamos a vasão em , nós vamos isolar o :
Agora vamos fazer a mesma coisa para o tempo, lembrando que:
Isolando o segundo:
Agora vamos pegar nosso resultado e fazer a conversão das unidades uma a uma, sendo:
Assim:
Podemos subir o como
E agora é só calcular:
Prontinho, arredondamos e colocamos no formato que o enunciado pediu
Passo 3
Para resolver a letra b) iremos considerar como ele disse que os vasos capilares formam juntos um único tubo com a seção reta bem grande. Aí queremos a seção desse tubo, que representa a seção total de todos os capilares.
Ele diz que podemos considerar também que todo sangue sai da aorta e vai para os capilares, ou seja, há conservação de volume. Por isso, podemos usar a equação da continuidade de volume
A quantidade de sangue que sai da aorta vai ser a mesma que entra nos capilares. Logo a vazão volumétrica é sempre a mesma. Já achamos no item anterior
Então podemos substitui-lo na equação da conservação
Podemos substituir a expressão da vazão no lado direito da nossa equação, sendo
a velocidade do sangue nos capilares e a área da seção, que queremos achar
Queremos encontrar a área de secção dos vasos capilares, logo vamos isolar :
Resposta
a)
b)