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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 40.Problemas Desafiadores - Ex. 55

55. Na Seção 40.1 , consideramos um caixa com paredes em x = 0 e x = L . Considere agora uma caixa com largura L , porém centralizada em x = 0 , de modo que ela se estende de x = - L / 2 até x = L / 2 (Figura 40.26 ). Note que essa caixa é simétrica em relação ao ponto x = 0 . a ) Considere funções de onda possíveis da forma ψ x = A sen ⁡ k x . Aplique as condições de contorno nas paredes para obter os níveis de energia permitidos. b ) Outro conjunto possível é constituído por funções de onda com a forma ψ x = A cos ⁡ k x . Aplique as condições de contorno nas paredes para obter os níveis de energia permitidos. c ) Compare as energias obtidas nos itens ( a ) e ( b ) com as energias fornecidas pela Equação ( 40.9 ) . d ) Uma função ímpar f é aquela que obedece à condição f x = - f ( x ) , e uma função par g é aquela que obedece à condição g x = g ( - x ) . Entre as funções de onda obtidas nos itens ( a ) e ( b ) , qual delas é uma função par e qual é uma função ímpar?

Passo 1

Vem comigo galera! tanto no item ( a ) , quanto o item ( b ) teremos que fazer a mesma coisa, aplicar a seguinte condição de contorno.

ψ - L 2 = 0 = ψ L 2

E com isso vamos brincando até encontrar os níveis de energia.

Umas observações que vão nos ajudar.

λ = 2 π k

p = h λ

E = p 2 2 m

k = 2 m E ℏ

Vamos lá então.

Passo 2

Vamos começar com ψ x = A sen ⁡ k x

Temos que:

0 = A sen ⁡ k L 2

⇒ sen ⁡ k L 2 = 0

Para que isso seja verdade temos que:

k L 2 = n π

⇒ k = 2 n π L

Agora está na hora de usar as observações do passo 1 , temos que:

λ = 2 π k

⇒ λ n = L n

Temos também que:

p = h λ

⇒ p n = n h L

Então finalmente temos que:

E = p 2 2 m

⇒ E n = n 2 h 2 2 m L 2

Passo 3

Vamos agora com ψ x = A co s ⁡ k x

Temos que:

0 = A co s ⁡ k L 2

⇒ co s ⁡ k L 2 = 0

Para que isso seja verdade temos que:

k L 2 = 2 n + 1 π 2

⇒ k = ( 2 n + 1 ) π L

Agora está na hora de usar as observações do passo 1 , temos que:

λ = 2 π k

⇒ λ n = 2 L ( 2 n + 1 )

Temos também que:

p = h λ

⇒ p n = ( 2 n + 1 ) h 2 L

Então finalmente temos que:

E = p 2 2 m

⇒ E n = ( 2 n + 1 ) 2 h 2 8 m L 2

A combinação de todas as energias dos itens ( a ) e ( b ) são os mesmos níveis de energia que os dados na Equação ( 40.9 ) .

Passo 4

Analisando as funções de onda temos que as funções dadas no item ( a ) são ímpares por conta do seno que é uma função ímpar e as do item ( b ) são pares por conta do cosseno que é função par.

Resposta

( a )

E n = n 2 h 2 2 m L 2

( b )

E n = ( 2 n + 1 ) 2 h 2 8 m L 2

( c )

A combinação de todas as energias dos itens ( a ) e ( b ) são os mesmos níveis de energia que os dados na Equação ( 40.9 ) .

( d )

As funções dadas no item ( a ) são ímpares por conta do seno que é uma função ímpar e as do item ( b ) são pares por conta do cosseno que é função par.

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