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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 40.Problemas - Ex. 39

Qual é a probabilidade de se encontrar uma partícula em uma caixa de comprimento L em uma região entre x = L / 4 e x = 3 L / 4 quando a partícula está a)no nível fundamental? b) no primeiro nível excitado? (Sugestão: integre Ψ ( x ) 2 d x onde Ψ é normalizada, desde x = L / 4 até x = 3 L / 4 . ) c) Os resultados encontrados no itens (a) e (b) estão de acordo com a figura? Explique.

Passo 1

Para uma partícula em uma caixa :

Ψ ( x ) 2 = C 2 s e n 2 n π x L

Como está normalizada:

Ψ ( x ) 2 = 2 L s e n 2 n π x L

Para achar a probabilidade, precisamos integrar a norma da função de onda no intervalo dado no enunciado.

Passo 2

letra a)

A probabilidade desde x = L / 4 até x = 3 L / 4 será no estado fundamental será:

P = ∫ L / 4 3 L / 4 2 L s e n 2 π x L   d x

P = 2 L ∫ L / 4 3 L / 4 1 - c o s 2 π x L 2   d x

P = 1 L x - L 2 π s e n 2 π x L L / 4 3 L / 4

P = 1 L 3 L 4 - L 4 - - L 2 π - L 2 π

P = 1 2 + 1 π

Passo 3

letra b)

A probabilidade desde x = L / 4 até x = 3 L / 4 no primeiro estado excitado será:

P = ∫ L / 4 3 L / 4 2 L s e n 2 2 π x L   d x

P = 2 L ∫ L / 4 3 L / 4 1 - c o s 4 π x L 2   d x

P = 1 L x - L 4 π s e n 4 π x L L / 4 3 L / 4

P = 1 L 3 L 4 - L 4 - 0

P = 1 2

Passo 4

letra c)

Esses resultados são consistentes com a figura. Essa figura mostra que Ψ ( x ) 2 é mais

concentrado próximo ao centro da caixa para o estado fundamental do que para o primeiro estado excitado; isso é consistente com a resposta da parte (a) que é maior que a resposta da parte (b). Além disso, esta figura mostra que, para o primeiro estado excitado, metade

a área sob a curva Ψ ( x ) 2 lies fica entre x = L / 4 até x = 3 L / 4 , consistente com a nossa resposta da parte (b).

Resposta

letra a) P = 1 2 + 1 π

letra b) P = 1 2

letra c) são consistentes com a figura.

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