No sistema de capacitores em série visto na Figura 17.12, o bloco do centro pode ser deslocado na vertical. Mostre que a capacitância equivalente C do sistema independe da posição daquele bloco e calcule C .

Passo 1

Sem considerar o bloco no centro, temos uma carga + Q na placa superior e uma carga - Q na placa inferior (representadas em vermelho). Quando colocamos o bloco no centro, termos uma carga induzida - Q na parte superior do bloco e + Q na parte inferior (representada em azul):

Vou supor que a distância da parte superior do bloco à placa superior é x e a distância entre as partes inferior é L - l - x . Observe que entre as placas do bloco o campo elétrico será nulo pois os campos em azul e em vermelho vão se cancelar!

Lembre-se que

E = σ ϵ 0

Passo 2

Vamos calcular a diferença de potencial entre as placas, que será basicamente o produto dos campos uniformes pelas distâncias:

φ + - φ - = E x + E ⋅ L - l - x

Note que a contribuição do campo em azul cancela a contribuição do campo em vermelho na região do bloco!

φ + - φ - = E L - l

Substituindo a expressão para E :

φ + - φ - = σ ϵ 0 L - l

Como σ = Q / A , temos

φ + - φ - = Q A ϵ 0 L - l

Por fim, como a capacitância é definida por C = Q / Δ φ , segue que

C = ϵ 0 A L - l

Vemos que essa capacitância independe de x , de modo que não importa a posição em que posicionamos o bloco.

Resposta

C = ϵ 0 A L - l

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