Enunciado
Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 39
Sob determinadas circunstâncias, uma estrela pode sofrer um colapso e se transformar em um objeto extremamente denso, constituído principalmente por nêutrons e chamado estrela de nêutrons. A densidade de uma estrela de nêutrons é aproximadamente vezes maior do que a da matéria comum. Suponha que a estrela seja uma esfera maciça e homogênea antes e depois do colapso. O raio inicial da estrela era de (comparável com o raio do Sol); seu raio final é igual a . Supondo que a estrela original completava um giro em , ache a velocidade angular da estrela de nêutrons.
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo bom? O enunciado nos diz que a densidade de uma estrela de nêutrons é aproximadamente vezes maior do que a da matéria comum.
Suponha que a estrela seja uma esfera maciça e homogênea antes e depois do colapso.
O raio inicial da estrela era de (comparável com o raio do Sol); seu raio final é igual a .
Queremos encontrar a velocidade angular da estrela de nêutrons supondo que a estrela original completava um giro em .
Bom... o enunciado parece ser bem doido, né? Mas fica tranquilo que vamos solucionar essa questão falando de conservação do momento angular.
Passo 2
Precisamos lembrar que a fórmula do momento angular era essa aqui:
Onde é a velocidade angular e é o momento de inércia.
Então, como se trata de conservação para o momento angular acontece da seguinte forma:
“Quando o torque externo resultante que atua sobre
um sistema é igual a zero, o momento angular do
sistema permanece constante (se conserva).”
Ou seja, isso quer dizer que existe a seguinte igualdade entre os momentos angulares final e inicial:
Logo:
Agora sabemos relacionar os dados da estrela antes e depois de colapsar.
Passo 3
Belezera, a malandragem agora é que precisamos encontrar o momento de inércia inicial e final da estrela. Pra isso, podemos supor que a estrela é perfeita esférica e maciça, e lembrar que o momento de inércia de uma esfera maciça em relação a um eixo que passa pelo seu centro, é dado como:
Ou seja, para o momento de inércia inicial, teremos que:
E para o momento de inércia final, temos:
Como a massa da estrela não se altera, temos que ela é igual no momento inicial e no final. Então substituindo essas informações na igualdade dos momentos angulares, teremos que:
Cortando os termos que se repetem:
Isolando :
Passo 4
Iradoso, agora a frequência angular inicial , temos no enunciado a suposição de que a estrela original complete um giro em . Precisamos saber quantos segundos há em um dia, de forma que:
Logo em :
E como a estrela realiza uma volta , nesse tempo, teremos que a velocidade angular inicial será:
Prontinho! Agora é só a gente substituir os dados do enunciado na fórmula:
Substituindo os dados, temos:
