O Sol e a Lua exercem, ambos, forças gravitacionais sobre os oceanos da Terra, provocando marés. (a) Mostre que a razão entre a força exercida sobre uma partícula pontual na superfície da Terra pelo Sol, e aquela exercida pela Lua, é . Aqui, e representam as massas do Sol e da Lua, e e são as distancias da partícula ao Sol e à Lua, respectivamente. Estime numericamente esta razão. (b) Mesmo que o Sol exerça uma força muito maior sobre os oceanos do que a Lua, a Lua produz um efeito maior sobre as marés porque é a diferença entre as forças entre um lado e o outro da Terra que é importante. Diferencie a expressão para determinar a variação de devido a uma pequena variação de . Mostre que . (c) A protuberância de marés oceânicas (isto é, o abaulamento da água dos oceanos, levando à formação de dois pontos opostos altos e dois pontos opostos baixos) é causada pela diferença de forças gravitacionais sobre os oceanos entre um lado da Terra e o outro. Mostre que, para uma pequena diferença em distância, em comparação com a distância média, a razão entre a variação da força gravitacional exercida pelo Sol e a variação da força gravitacional exercida pela Lua sobre os oceanos da Terra é dada por . Calcule esta razão. Qual é a sua conclusão? Qual objeto, a Lua ou o Sol, é o maior causador do abaulamento dos oceanos na Terra?

Começando escrevendo cada uma das forças exercidas no corpo de massa pelo Sol e pela Lua:

Como queremos a razão entre as duas forças, vamos dividir uma equação pela outra:

Agora é só substituir os valores!

Essa é a resposta da letra a!

Para a letra b, vamos derivar em função de :

E é a força gravitacional entre ambas os corpos! Podemos substituir então e ficar com:

Agora passando umas coisas pra lá e outras pra cá:

Que é exatamente o que queríamos mostrar :)

A partir do que encontramos na letra b, podemos fazer a seguinte aproximação para variações pequenas de e :

Isolando a variação da força:

Vamos agora expressar tanto para o Sol quanto para a Lua:

Substituindo o valor de cada uma das duas forças e :

Agora é só dividir uma equação pela outra e simplificar!

Como a variação é pequena e igual para as duas distâncias: .

Provado! Agora é só substituir os valores e interpretar o resultado.

Ficamos com:

Como a razão é menor que , podemos concluir que a lua é a causa principal do abaulamento dos oceanos na Terra.