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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 30.9 - Ex. 55

Um solenoide com uma indutância de 6,30   μ H é ligado em série com um resistor de 1,20   k Ω . (a) Se uma bateria de 14,0   V é ligada entre os terminais do conjunto, quanto tempo é necessário para que a corrente no resistor atinja 80,0 % do valor final? (b) Qual é a corrente no resistor no instante t = 1,0 τ ?

Passo 1

A questão fala sobre um circuito R L no processo de carregamento, em que a corrente está aumentando. Neste caso, a corrente é dada por

i = ε R 1 - e - t τ

Queremos saber qual o tempo no qual a corrente atinge 80% do valor final, ou seja, i = 0,800 i f .

Como sabemos, para t → ∞ , temos que

i → i f = ε R

E aí a gente pode reescrever a equação que será usada desse jeito aqui!

i = i f 1 - e - t τ

A nossa meta aí vai ser isolar o t e encontra-lo, beleza?

Passo 2

Pra isolar o t vamos fazer o seguinte, passar i f dividindo:

i i f = 1 - e - t τ

Invertendo a galera temos:

e - t τ = 1 - i i f

Assim podemos usar a propriedade de elevar geral a e ln ⁡ a onde a é a função ou constante que tá ali:

e l n e - t / τ = e ln ⁡ 1 - i i f

Da propriedade de logaritmo temos:

- t τ = ln ⁡ 1 - i i f

Usando i = 0,800 i f , temos que

- t τ = ln ⁡ 1 - 0,800 = ln ⁡ 0,200

- t τ = ln ⁡ 1 5 = - ln ⁡ 5

Portanto:

t = τ ⋅ ln ⁡ 5

Por outro lado,

τ = L R

Usando L = 6,30 ⋅ 10 - 6   H e R = 1,20 ⋅ 10 3   Ω , temos que

τ = 6,30 × 10 - 6 1,20 × 10 3 =   5,25 × 10 - 9 H Ω

t = 5,25 × 10 - 9 ln ⁡ 5 = 8,5 × 10 - 9 s

Passo 3

Para t = 1,0 τ , a corrente será

i = ε R 1 - e - 1

Usando R = 1,20 ⋅ 10 3   Ω e ε = 14,0   V , temos que

i = 14 1200 1 - e - 1 = 7,37 ⋅ 10 - 3   A

Resposta

t = 8,45 ⋅ 10 - 9   s

i = 7,37 ⋅ 10 - 3   A

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