Uma surpresa gráfica. No instante , um burrito é lançado a partir de um terreno plano, com uma velocidade inicial de e um ângulo de lançamento . Imagine um vetor posição que ligue o ponto de lançamento ao burrito durante toda a trajetória. Plote o módulo do vetor posição em função do tempo para (a) e (b) . Para , (c) em que instante atinge o valor máximo, (d) qual é esse vlor e a que distância (e) horizontal e (f) vertical está o burrito em relação ao ponto de lançamento? Oara , (g) em que instante atinge o valor máximo, (h) qual é esse valor e a que distância (i) horizontal e (j) vertical está o burrito em relação ao ponto de lançamento?

E agora podemos calcular o módulo desse vetor:

E podemos arrumar um pouco essa expressão:

E agora podemos fazer os gráficos.

(a) No caso em que , temos:

(b) No caso em que :

Para encontrar o valor máximo de em função do tempo, precisamos tirar a derivada da nossa função e igualar a zero:

Para derivar a função, vamos deixá-la da seguinte forma:

E então a derivada é:

Como vamos igualar isso tudo a zero, o denominador vai sumir, então:

E garantindo que , podemos dividir tudo por :

(c) No caso em que , essa equação fica da seguinte forma:

Que é uma equação do segundo grau. Mas dê uma olhada no da equação:

Ou seja, temos , portanto não existe solução real para essa equação.

Isso quer dizer que a função não tem ponto de máximo para , e então a distância máxima simplesmente acontece quando o burrito atinge o chão.

Isso quer dizer que temos que calcular o tempo de voo do burrito:

(d) Para calcular o valor de nesse instante nós podemos usar a nossa fórmula:

(e) E a distância horizontal correspondente a essa ponto pode ser calculada usando a fórmula que escrevemos lá em cima para a coordenada :

(f) E como estamos considerando o instante em que o burrito toca o chão, claramente a distância vertical em relação ao ponto de lançamento é zero.

(g) Agora vamos fazer os mesmos cálculos para . Podemos aproveitar a fórmula que escrevemos antes para o ponto de máximo da função :

E podemos resolver essa equação para encontrar :

E daqui tiramos duas raízes: e . Pelo nosso gráfico, podemos ver que o maior deles corresponde a um ponto de mínimo, então a resposta que procuramos é:

(h) O valor de nesse instante pode ser calculado usando a nossa fórmula:

(i) E podemos calcular a distância horizontal usando a fórmula que escrevemos para a coordenada :

(j) E a distância vertical também: