No exemplo 4-7b uma bala é disparada por um canhão situado ao nível do mar com um ângulo de 45 ° com a horizontal e atinge uma distância de 686   m . Qual seria o aumento da distância atingida pela bala se o canhão estivesse a uma altura de 30   m ?

Passo 1

Nosso objetivo é encontrar a distância horizontal percorrida pela bala até ela atingir o chão. Mas com uma complicação, o canhão está em uma posição elevada. Vamos dar uma olhada no desenho:

A equação que dá a trajetória da bola é a seguinte:

y = x tan ⁡ θ - g x 2 2 v 0 cos ⁡ θ 2

Nesse desenho nós colocamos a origem do sistema de coordenadas na posição inicial da bala, então, nosso objetivo é encontrar o valor de x quando y = - 30   m .

Passo 2

O enunciado já deu o ângulo de lançamento θ = 45 ° , e no exemplo mencionado vemos que v 0 = 82   m / s .

Com esses valores, podemos resolver aquela equação do segundo grau para encontrar x .

x tan ⁡ θ - g x 2 2 v 0 cos ⁡ θ 2 - y = 0

x tan ⁡ 45 ° - 9,8 x 2 2 82 cos ⁡ 45 ° 2 + 30 = 0

- 1,46.10 - 3 x 2 + x + 30 = 0

Então, aplicando a fórmula de Bháskara:

x = - 1 ± 1 2 - 4 - 1,46.10 - 3 30 ( 2 ) - 1,46.10 - 3

x = - 1 ± 1,084 ( 2 ) - 1,46.10 - 3

E nesse caso só uma raiz positiva pode fazer sentido, então:

x = - 2,084 2 - 1,46.0 - 3 = 714   m

Passo 3

No exemplo mencionado no enunciado, quando o canhão estava na altura do solo, era:

x ' = 686   m

Ou seja, o aumento na distância horizontal foi:

Δ x = x - x '

Δ x = 714 - 686

Δ x ≅ 28   m

Resposta

O aumento na distância atingida foi de 28 metros.

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