Enunciado

Um jogador de basquete quer encestar a bola levantando-a desde uma altura de 2 m do chão, com velocidade inicial de 7 m/s. A distância da bola à vertical que passa pelo centro do cesto é de 3 m, e o aro do cesto está a 3,05 m de altura do chão. Em que ângulo a bola deve ser levantada?

Passo 1

Galera, nessa questão o jogador está a 3 metros de distância horizontal do ponto em que ele quer jogar a bola, além disso ele tem altura 2 m e o aro está a 3,05 m do chão. Resumindo o jogador quer deslocar a bola 1,05 m para cima e 3 m para o lado! Além disso ele joga a bola inicialmente a 7 m/s.

Eai, lembrando de alguma fórmula que relacione pontos x e y ?

O nosso movimento é descrito por esse sistema abaixo e agente pode mexer nele até descobrir essa equação, se liga aqui

x = v x t   y = v 0 y t - g 2 t 2  

t = x v x  

y x = v o y v 0 x x - g 2 x 2 v 0 x 2 = x . t g θ - g 2 ( x 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ )

Substituindo na equação a gente tem

1,05 = 3 t g θ - 4,9 . 9 49 cos 2 ⁡ θ

1,05   .   10 cos 2 ⁡ θ = 3.10 . t g θ . cos 2 ⁡ θ - 9

10,5 cos 2 ⁡ θ = 30 s e n θ c o s θ - 9

Aqui podemos usar uma identidade trigonométrica pra facilitar nossa vida galera

2 s e n x c o s x = s e n 2 x

10,5 cos 2 ⁡ θ = 15 s e n 2 θ - 9

Também vamos usar aquela outra identidade pra a gente se safar dessa haha, vem comigo

cos 2 ⁡ x = 1 2 ( 1 + c o s 2 x )

5,25 ( 1 +  cos 2 θ ) ⁡ = 15 s e n 2 θ - 9

5,25 1 +  cos 2 θ + 9 15    ⁡ = s e n 2 θ

5,25 2 1 + c o s 2 θ 2 + 94,5 1 + c o s 2 θ + 81 225 = s e n 2 2 θ

Agora a última identidade eu prometo!

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

5,25 2 1 + c o s 2 θ 2 + 94,5 1 + c o s 2 θ + 81 225 = 1 - cos 2 ⁡ 2 θ

Para nos ajudar vamos chamar c o s 2 θ = x

5,25 2 1 + x 2 + 94,5 1 + x + 81 225 = 1 - x 2

5,25 2 ( 1 + 2 x + x 2 ) + 94,5 1 + x + 81 225 = 1 - x 2

27,5625 x 2 + 149,625 x + 203,0625 = 225 - 225 x 2

252,5625 x 2 + 149,625 x - 21,9375 = 0

a = 252,5625

b = 149,625

c = - 21,9375

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 0,12164   o u - 0,71406

Voltando, sabemos que esses valores equivalem a c o s 2 θ → θ = 41,5 °   o u     67,8 ° .

Se jogarmos na nossa equação do começo os 2 ângulos funcionam, louco né haha. Mas como a gente quer que a bola entre no aro, faz mas sentido a bola vir de cima, então faz mais sentido

θ = 67,8 °

Beijo e até já já na próxima questão :P

Resposta

θ = 67,8 °

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