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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 16.Problemas Adicionais - Ex. 77

O tipo de borracha usada em algumas bolas de beisebol e de golfe obedece a lei de Hooke numa ampla faixa de alongamentos.Uma tira desse material tem comprimento λ e massa m . Quando uma força F é aplicada, a tira sofre um alongamento Δ λ . (a) Qual é a velocidade (em termos de m , λ e da constante elástica k ) das ondas transversais nessa tira de borracha sob tensão? (b) Use a resposta do item (a) para mostrar que o tempo necessário para que um pulso transversal atravesse a tira de borracha é proporcional a 1 Δ λ se Δ λ ≪ λ e é constante se Δ λ ≫ λ .

Passo 1

  1. Primeiro, vamos lembrar da relação que dá a velocidade em função da força aplicada e a densidade linear da tira de borraca:

    2. v = F μ

    Além disso, como a força atuante na borracha pode ser aproximadamente considerada como uma força que obedece à lei de Hooke, a gente tem que:

    F = k Δ λ

    Beleza! Agora, suponha que a tira sofreu um deslocamento igual a Δ λ . Nesse caso, a densidade linear dessa tira é iguall a

    μ = m λ + Δ λ

    Substituindo esse valor na expressão da velocidade acima, temos:

    v = k Δ λ m λ + Δ λ

    v = k Δ λ 2 m 1 + λ Δ λ

    Passo 2

  2. Agora, suponha que a tira sofreu um deslocamento igual a Δ x . Nesse caso, a velocidade é expressa por:

v = Δ x Δ t

Para Δ x = λ + Δ λ ,   Δ t = λ + Δ λ v .

Substituindo o valor de v   encontrado no passo 1, temos:

Δ t = ( λ + Δ λ ) k Δ λ 2 m 1 + λ Δ λ = λ + Δ λ k Δ λ m = m λ + Δ λ k Δ λ = m λ Δ λ + 1 k  

Perceba que, se Δ λ ≫ λ acontece que λ Δ λ ≪ 1 e então Δ t é praticamente igual a

Δ t = m k

Olha só! Isso é uma constante! Ou seja, Δ t   é praticamente igual a uma constante quando Δ λ ≫ λ . Era isso o que queríamos demonstrar!

Resposta

(a) v = k Δ λ 2 m 1 + λ Δ λ

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