Enunciado
Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 25.Exercícios e Problemas - Ex. 48
A Fig. 25-38 mostra uma esfera, de raio e carga uniformemente distribuída através de seu volume, concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno e raio externo . A casca tem uma carga líquida de . Determine expressões para o campo elétrico em função do raio (a) dentro da esfera ; (b) entre a esfera e a casca ; (c) no interior da casca ; e (d) fora da casca . (e) Quais são as cargas sobre as superfícies interna e externa da casca?
Passo 1
Fala galera, bora lá! Para começar, em todos pontos onde existe campo elétrico, ele aponta radialmente para fora. Em cada parte do problema, escolheremos uma superfície Gaussiana esférica e concêntrica com a esfera de carga e que passe pelo ponto onde desejamos determinar o campo elétrico. Como o campo é uniforme sobre toda a superfície das Gaussianas, temos sempre que, qualquer que seja o raio da Gaussiana em questão,
(a) Aqui temos e a carga dentro da superfície Gaussiana é . A lei de Gauss fornece-nos
Isolando tiramos que
Passo 2
(b) Agora temos , com a carga dentro da Gaussiana sendo . Portanto, a lei de Gauss aqui nos diz que
Isolando tiramos que
(c) Como a casca é condutora, é muito fácil saber se o campo elétrico dentro dela:
Passo 3
(d) Fora da casca, para , a carga total dentro da superfície Gaussiana é zero e, consequentemente:
Passo 4
Tomemos uma superfície Gaussiana localizada dentro da casca condutora. Como o campo elétrico é zero sobre toda superfície, temos que
e, de acordo com a lei de Gauss, a carga líquida dentro da superfície é zero. Em outras palavras, chamando de a carga sobre a superfície interna da casca, a lei de Gauss nos diz que devemos ter , ou seja,
Chamando agora de a carga na superfície externa da casca e sabendo que a casca tem uma carga líquida de (dado do problema), vemos que é necessário ter-se que , o que implica termos