Enunciado

Um trem com aceleração máxima a e desaceleração máxima f (magnitude da aceleração de freamento) tem de percorrer uma distância d entre duas estações. O maquinista pode escolher entre (a) seguir com a aceleração máxima até certo ponto e a partir daí frear com a desaceleração máxima, até chegar; (b) acelerar até uma certa velocidade, mantê-la constante durante algum tempo e depois frear até a chegada. Mostre que a primeira opção é a que minimiza o tempo do percurso (sugestão: utilize gráficos v x t) e calcule o tempo mínimo de percurso em função de a, f e d.

Passo 1

Para mostrarmos que o caminho que minimiza é a opção a ) vamos plotar os gráficos v x t do trem.

Nesse exemplo, vemos a situação a) em vermelho e a b) em azul, caso gastássemos o mesmo tempo utilizando os 2 métodos, a distância percorrida pelo método a) seria maior (área sob a curva maior). Se a gente notar, a aceleração e a desaceleração tem mesma magnitude entre os 2 gráficos, já que as declividades são iguais.

Caso a distância d representasse a área sob o gráfico vermelho, o trapézio teria que se estender bem mais pro lado para alcançar essa área! E isso representaria um tempo maior.

Passo 2

Já que descobrimos que o método a ) é mais eficiente vamos calcular o tempo necessário para percorrer d .

Se olharmos para o gráfico vermelho podemos dividir a área em 2 triângulos retângulos menores(um à direita do vértice e outro à esquerda).

Supondo que sua área seja uma distância genérica d , podemos dizer que d será a soma dessas áreas:

d = A 1 + A 2

A área do primeiro triângulo fica b h 2 onde b é o tempo t 1   que o trem leva pra chegar na velocidade máxima (vértice do triângulo) e a altura é a velocidade máxima:

v = v 0 + a t

v = 0 + a t 1

A 1 = Δ s 1 = t 1 . a t 1 2 = a t 1 2 2

Já o segundo triângulo tem mesma altura que o primeiro ( a t 1 ) e base t - t 1 , onde t é o tempo total de deslocamento. Daí

A 2 = Δ s 2 = t - t 1 . a t 1 2 = a t 1 t 2 - a t 1 2 2

Como   d = A 1 + A 2 →

d = a t 1 2 2 + a t 1 t 2 - a t 1 2 2 = a t 1 t 2  

Como temos um fator indesejado t 1 que não sabemos, vamos utilizar a equação de desaceleração

v f = v 0 + a t

0 = a t 1 - f t - t 1

a t 1 = f t - f t 1

t 1 a + f = f t

t 1 = f t a + f

Substituindo na nossa primeira equação obteremos

d = a t 2 f t a + f

2 d a + f a f = t 2

t = 2 d a a f + 1

Resposta

t = 2 d a a f + 1

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