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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 23.1 - Ex. 39

Três cargas puntiformes idênticas, cada uma com uma carga igual a q , estão no plano x y . Duas das cargas estão no eixo y em y = - a e y = + a , e a terceira carga está no eixo x em x = a . (a) Determine o potencial como uma função da posição ao longo do eixo x . (b) Use o resultado da parte (a) para obter uma expressão para E x x , a componente x do campo elétrico como uma função de x . Confira suas respostas para as partes (a) e (b) na origem e quando x tende a ∞ para ver se elas fornecem os resultados esperados.

Passo 1

Fala ai galera, beleza? A figura a seguir representa a configuração de cargas dita no enunciado:

Seja P um ponto na posição x . Queremos calcular o potencial elétrico em P para qualquer valor de x !

Passo 2

  1. Temos que

    2. V = V 1 + V 2 + V 3

    Onde V 1 é o potencial devido a carga 1 , V 2 é o potencial devido a carga 2 e V 3 é o potencial devido a carga 3 . Notemos que d 1 = d 2 = a 2 + x 2 . Dessa forma, temos

    V 1 = V 2 = k q a 2 + x 2

    Além disso,

    V 3 = k q d 3 = k q x - a

    Assim, temos que

    V = 2 k q a 2 + x 2 + k q x - a

    Veja que tal fórmula faz sentido apenas para x ≠ a !

    Passo 3

  2. Para x < a , temos que

V = k q 2 a 2 + x 2 - 1 x - a

pois x - a = - x - a . Assim,

E x = - d V d x = - k q - 2 x a 2 + x 2 3 / 2 + 1 x - a 2 E x = 2 k q a 2 + x 2 3 / 2 - k q x - a 2

Para x > a , temos que

V = k q 2 a 2 + x 2 + 1 x - a

De forma que

E x = - d V d x = - k q - 2 x a 2 + x 2 3 / 2 - 1 x - a 2

Logo,

E x = 2 k q x a 2 + x 2 3 / 2 + k q x - a 2

Passo 3

  • Para x = 0 , temos

    • V 0 = k q 2 a - 1 a = k q a

    E 0 = 2 k q a 2 - k q a 2 = k q a 2

  • Para x → ∞ , temos

V ∞ = 0 E ∞ = 0

que é exatamente o que esperávamos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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