Enunciado

Três estrelas, cada qual com a massa e o raio do Sol, formam um triângulo equilátero com lados de 5,0 × 10 9   m . Se as três estrelas forem simultaneamente liberadas a partir do repouso, quais serão os valores de suas velocidades ao colidirem no centro do triângulo?

Passo 1

Se liga! Para resolver a questão, vamos começar esboçando o desenho que representa a configuração inicial descrita no enunciado.

Onde a distância entre os centros dos planetas é

x = 5,0 × 10 9   m   .

Como os planetas encontram-se em repouso, eles possuem apenas energia potencial gravitacional. Levando em consideração que os planetas são idênticos, podemos dizer que todos estão com a mesma energia potencial. Portanto no início a energia total poderá ser escrita como

U i = - 3 M 2 G x

Passo 2

Como ele quer a velocidade dos 3 planetas ao colidirem no centro do planeta, esboçaremos a configuração final.

Repare que na configuração final, a distância entre os centros dos planetas passa a ser 2 vezes o raio. Sendo assim, a energia potencial gravitacional do sistema neste instante é

U f = - 3 M 2 G 2 R .

Levando em consideração que eles estão em movimento, existe uma energia cinética associada ao sistema.

K f = 3 × M v 2 2 .

Passo 3

Pela conservação da energia, temos

U i = K f + U f

Agora vamos substituir as equações aqui

- 3 M 2 G x = 3 × M v 2 2 - 3 M 2 G 2 R

Simplificando

M G 2 R - M G 5 × 10 9 = v 2 2 .     ( 1 )

Passo 4

Considerando a massa e o raio do Sol, respectivamente, como

M = 1,99 × 10 30   k g

R = 6,96 × 10 8   m

Sendo a constante gravitacional

G = 6,67 × 10 - 11 m 3 k g   s 2

Reescrevendo a equação (1)

v = 2 M G 1 2 R - 1 5,0 × 10 9

Substituindo os valores encontramos o valor para velocidade

v = 3,71 × 10 5   m / s .

Resposta

v = 3,71 × 10 5   m / s .

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