Enunciado
Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 45
Três estrelas, cada qual com a massa e o raio do Sol, formam um triângulo equilátero com lados de . Se as três estrelas forem simultaneamente liberadas a partir do repouso, quais serão os valores de suas velocidades ao colidirem no centro do triângulo?
Passo 1
Se liga! Para resolver a questão, vamos começar esboçando o desenho que representa a configuração inicial descrita no enunciado.
Onde a distância entre os centros dos planetas é
Como os planetas encontram-se em repouso, eles possuem apenas energia potencial gravitacional. Levando em consideração que os planetas são idênticos, podemos dizer que todos estão com a mesma energia potencial. Portanto no início a energia total poderá ser escrita como
Passo 2
Como ele quer a velocidade dos 3 planetas ao colidirem no centro do planeta, esboçaremos a configuração final.
Repare que na configuração final, a distância entre os centros dos planetas passa a ser 2 vezes o raio. Sendo assim, a energia potencial gravitacional do sistema neste instante é
Levando em consideração que eles estão em movimento, existe uma energia cinética associada ao sistema.
Passo 3
Pela conservação da energia, temos
Agora vamos substituir as equações aqui
Simplificando
Passo 4
Considerando a massa e o raio do Sol, respectivamente, como
Sendo a constante gravitacional
Reescrevendo a equação (1)
Substituindo os valores encontramos o valor para velocidade