Enunciado

Ao visitar o Planeta Física, você atira uma pedra diretamente para cima com uma velocidade de 11   m / s e a pega de volta 2,5 s mais tarde. Enquanto você está na superfície, sua nave encontra-se em órbita a uma altitude correspondente ao raio do planeta e completa uma revolução a cada 230 min.

Qual é:

  1. a massa do Planeta Física?
  2. o raio do Planeta Física?

Passo 1

Se liga! Aqui precisamos lembrar que considerando que a pessoa está na superfície do Planeta, podemos usar as equações da cinemática.

A gravidade na superfície do planeta é dada por

g = G M R 2   ( 1 )   .

Já que temos um lançamento para cima, conhecemos a velocidade e o tempo que a pedra demora para retornar para o mesmo lugar, podemos usar, para achar o valor da gravidade, a expressão a seguir

y = y 0 + v 0 t - g t 2 2

Considerando que

y = y 0 = 0

v 0 = 11   m / s

t = 2,5   s

Podemos achar o valor da gravidade no planeta.

0 = 11 2,5 - g 2,5 2 2

Resolvendo a equação encontramos que

g = 44 5   m / s 2 .

Passo 2

Repare que na equação (1) não conhecemos M e R .

Para achar o valor da massa, primeiro temos que achar o valor do raio. Para isto, temos que prestar atenção que o tempo de uma revolução é equivalente ao período. O período é dado por

T 2 = 4 π 2 G M 2 R 3

Usando a equação (1), podemos reescrever a expressão acima

T 2 32 π 2 = R 1 g = R × 5 44   .

Como o período é

T = 230   m i n   = 13800   s

Assim podemos achar que

R = 44 5 × 1 32 π 2 × 13800 2 ≈ 5,3 × 10 6   m

Assim acabamos de resolver o item (b).

Passo 3

Como no item (a) queremos encontrar o valor da massa, basta substituir o valor da gravidade e do raio na equação (1).

M = g R 2 G = 44 5 5 , 3 × 10 6 2 6,67 × 10 - 11 = 3,7 × 10 24   k g

Resposta

a )   M = 3,7 × 10 24   k g

b )   R = 5,3 × 10 6   m

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