12.25. Use os resultados do Exemplo 12.5 (Seção 12.3) para calcular a velocidade de escape para uma espaçonave sair a) da superfície de Marte; b) da superfície de Júpiter. Use dados do Apêndice F. c) Por que a velocidade de escape não depende da massa da espaçonave?

Passo 1

O exemplo 12.5 da seção 12.3 mostra como calcular a velocidade de escape. O exercício pede para gente usar o resultado

v e = 2 G M R

Então agora é só substituir os valores na equação. Vamos começar pelo item (a), Marte. Lá no Apêndice F a gente pode ver que M M = 6,42 ⋅ 10 23   k g e R M = 3,40 ⋅ 10 6   m . E a constante gravitacional vale 6,67408 ⋅ 10 - 11 m 3 k g ⋅ s 2  

v e = 2 ⋅ 6,67408 ⋅ 10 - 11 ⋅ 6,42 ⋅ 10 23 3,40 ⋅ 10 6

Agora é só resolver essa continha

v e = 5,02 ⋅ 10 3 m s

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Agora estamos falando de Júpiter. Vamos olhar para o Apêndice F de novo. M J = 1,90 ⋅ 10 27   k g e R J = 6,91 ⋅ 10 7   m .

Agora a gente substitui na equação de novo

v e = 2 ⋅ 6,67408 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1,90 ⋅ 10 27 6,91 ⋅ 10 7

Agora fazendo essa continha temos

v e = 6,06 ⋅ 10 4 m s

Passo 3

Agora para o ultimo item a gente tem que explicar porque a velocidade de escape não depende da massa da nave. Vamos ver isso primeiro matematicamente. Imagina dois momentos para um projetil, o primeiro momento o projetil ta na superfície do planeta, logo r 1 = R , e ele tem a velocidade igual a velocidade de escape v 1 = v e , o segundo momento é quando ele já escapou e seguiu em frente indefinidamente, r = ∞ e ai nesse momento já nã tem velocidade v 2 = 0 . Então temos

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

A energia potencial gravitacional pode ser calculada como

U = - G ⋅ M ⋅ m R

Então

m v 1 2 2 + - G ⋅ M ⋅ m R = m v 2 2 2 + - G ⋅ M ⋅ m d

Substituindo as valores que a gente tem

m v 1 2 2 + - G ⋅ M ⋅ m R = m 0 2 2 + - G ⋅ M ⋅ m ∞

Então

m v 1 2 2 + - G ⋅ M ⋅ m R = 0

Agora a gente pode descobrir a velocidade de escape

m v e 2 2 = G ⋅ M ⋅ m R

Olha só, nesse momento a gente pode cortar a massa da nave.

Agora vamos explicar fisicamente. Bom, quando a gente olha sob a perspectiva da energia, a energia potencial e a energia cinética estão agindo sobre a nave, e as duas são proporcionais a massa da nave, logo ela não importa para calcular a velocidade de escape.

Resposta

  1. v e = 5,02 ⋅ 10 3 m s
  2. v e = 6,06 ⋅ 10 4 m s
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