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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 17.5 - Ex. 45

No tubo A , a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,2 . No tubo B , a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,4 . Quantas extremidades abertas existem ( a ) no tubo A e ( b ) no tubo B ?

Passo 1

Vou resolver essa questão por tentativa e erro. Sabendo das fórmulas dos tubos abertos e fechados:

  • Para o tubo fechado:

    • f n = ( 2 n - 1 ) 4 v L

    Então a razão entre a frequência n + 1 e sua precedente n é dada por:

    f n + 1 f n = 2 n + 1 - 1 4 v L 2 n - 1 4 v L = 2 n + 1 2 n - 1 = 2 n + 1 + 1 - 1 2 n - 1 = 1 + 2 2 n - 1

    Tubo fechado:

    f n + 1 f n = 1 + 2 2 n - 1

  • Fazendo o mesmo procedimento, mas agora para o tubo aberto:

f n = ( 2 n ) 4 v L

E a razão entre a frequência n + 1 e sua precedente n é dada por:

f n + 1 f n = 2 ( n + 1 ) 4 v L ( 2 n ) 4 v L = 2 n + 1 2 n = 1 + 1 n

Tubo aberto:

f n + 1 f n = 1 + 1 n

Passo 2

Devemos agora olhar cada caso e ver em qual cada um fornece um n inteiro.

Sabendo da relação entre as frequências, podemos agora analisar o caso do tubo A :

Aqui entra a tentativa e erro, vou tentar primeiro o tubo aberto (pois a álgebra é mais simples)

1,2 = 1 + 1 n

1,2 - 1 = 1 n

0,2 = 1 / n

n = 1 0,2 = 5

Opa! Já encontramos um número inteiro! Isso quer dizer que o tubo A contém as duas extremidades abertas! Nem é preciso fazer a mesma análise para o tubo fechado. Bora pro tubo B ?

Passo 3

Para o tubo B temos:

1,4 = 1 + 1 n

(testando primeiro o tudo aberto, também por simplicidade – ou preguiça kkk)

1,4 - 1 = 1 / n

0,4 = 1 / n

n = 1 0,4 = 2,5

Encontramos um n fracionário, logo devemos verificar para o tubo fechado:

Passo 4

Para fechado temos:

1,4 = 1 + 2 2 n - 1

1,4 - 1 = 2 2 n - 1

2 n - 1 = 2 0,4

2 n = 5 + 1

n = 6 2 = 3

Oba! Encontramos um número inteiro! Ótimo, agora sabemos que o tubo B é fechado (só em uma das extremidades tá?)

Resposta

a 2   e x t r e m i d a d e s

b 1   e x t r e m i d a d e

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