Um tubo de um órgão possui dois harmônicos sucessivos com frequências iguais a 1372   H z e 1764   H z . a) Esse tubo é aberto ou fechado? Explique. b) Que harmônicos são esses? c) Qual é o comprimento do tubo?

Passo 1

O enunciado diz que os harmônicos são sucessivos, pela equação que relaciona a frequência fundamental com os harmônicos:

f n = n f 1

Se o tubo é aberto, a próxima frequência é: f n + 1 = n + 1 f 1

Se for fechado:

f n + 2 = n + 2 f 1

Pois n só deve ser um número ímpar ( n = 1 ,   3 ,   5 … ) .

Vamos primeiro relacionar f n com o caso par, para isso, basta subtrairmos as duas equações:

f n + 1 - f n = n + 1 f 1 - n f 1

Reescrevendo:

f 1 = f n + 1 - f n

Substituindo os valores das duas frequências:

f 1 = 1764   H z - 1372   H z = 392   H z

Mas se substituirmos esse valor na equação lá do início:

1372   H z = n ( 392   H z )

n é:

n = 1372   H z 392   H z = 3,5

E como não é inteiro, o valor de n está errado, o que significa que o tubo não é aberto, então só pode ser fechado.

Passo 2

b) para encontrarmos os harmônicos, basta refazermos a conta que fizemos na letra a) para o tubo fechado:

f n = n f 1

f n + 2 = n + 2 f 1

Subtraindo as duas equações:

f n + 2 - f n = n + 2 f 1 - n f 1

Reescrevendo:

2 f 1 = f n + 2 - f n

f 1 = f n + 2 - f n 2

Substituindo os valores:

f 1 = 1764   H z - 1372   H z 2 = 196   H z

E agora substituímos esse valor na primeira equação:

1372   H z = n ( 196   H z )

n será:

n = 1372   H z 196   H z = 7

O próximo harmônico deve ser o próximo número ímpar, então:

n = 9

Os harmônicos sucessivos são 7 e 9.

Passo 3

c) Basta usarmos a equação:

f n = n v 4 L

Para um tubo fechado.

Como temos o valor da frequência fundamental, vamos colocar n = 1 :

f 1 = v 4 L

E isolar L :

L = v 4 f 1

Substituindo o valor da frequência e a velocidade do som no ar v = 344   m / s :

L = 344   m / s 4 ( 196   H z ) = 0,439   m

Resposta

a   f e c h a d o

b   7   e   9

c   0,439   m

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