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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 104

Um túnel reto é cavado através da Terra, como mostrado na figura 14-38. Suponha as paredes do túnel sem atrito. (a) A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma partícula de massa m que dista r do centro da Terra, quando r < R t , é F r = - G m M t R t 3 r , onde M t é a massa da Terra e R t seu raio. Mostre que a força resultante sobre uma partícula de massa m que dista x do centro do túnel é dada por F x = - G m M t R t 3 x e que o movimento da partícula é, portanto, um movimento harmônico simples. (b) Mostre que o período do movimento é independente do comprimento do túnel e é dado por T = 2 π R t g . (c) Determine o valor numérico do período, em minutos.

Passo 1

Essa questão é bem cascuda... Mas o resultado dela é bem engraçado!

  1. Da figura, a gente vê que:

    2. F x = F r s e n θ = - G m M t R t 3 r x r

    F x = - G m M t R t 3 x

    Essa força é da forma F = - k x , ou seja, é uma força restauradora. Portanto, o movimento é harmônico simples.

    Passo 2

  2. A gente sabe que o período de um MHS é T = 2 π ω . Vamos olhar para a segunda lei de Newton para a partícula:

    3. ∑ F x = m a x

    - G m M t R t 3 x = m a

    a = - G M t R t 3 x = - ω 2 x

    Então tiramos daí que:

    ω = G M t R t 3 = g R t

    Aqui, usamos que g = G M t / R t 2 .

    E então o período é:

    T = 2 π R t g

    Passo 3

  3. Substituindo valores numéricos:

T = 2 π 6.37 × 10 6 9.81

T = 84.4   m i n

Pra que gastar com avião se é só a gente cavar uns buracões e pular?

Resposta

  1. F x = - G m M t R t 3 x
  2. T = 2 π R t g
  3. T = 84.4   m i n
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