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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 10

13.10. Arrancada. A corda de um violão vibra com uma frequência igual a 440 Hz. Um ponto em seu centro se move com MHS com amplitude igual a 3,0 mm e um ângulo de fase igual a zero. a) Escreva uma equação para a posição do centro da corda em função do tempo. b) Quais são os valores máximos dos módulos da velocidade e da aceleração do centro da corda? c) A derivada da aceleração em relação ao tempo pode ser chamada de ‘arrancada’. Escreva uma equação para a arrancada do centro da corda em função do tempo e calcule o valor máximo do módulo da arrancada.

Passo 1

Bem, a equação de posição de um movimento harmônico simples, e ângulo de fase zero, é do tipo

x = A cos ⁡ ω t

E a gente pode escrever a frequência angular como

ω = 2 π f

Então

x = A cos ⁡ 2 π f ⋅ t

Substituindo os valores a gente tem

x = 3,0 ⋅ cos ⁡ 2 π ⋅ 440 ⋅ t

Passo 2

A aceleração é a derivada da velocidade. Vamos calcular

a = d v d t = - 2 π f 2 A cos ⁡ 2 π f t  

A partir dessa equação, a gente pode perceber que a aceleração máxima será quando

cos ⁡ ( 2 π f t ) = - 1

Então a velocidade máxima pode ser calculada como

Logo

a m a x = - 2 π f 2 A   ( - 1 )

Então

a m a x = 4 π f 2 A

Substituindo os valores

a m a x = 4 π ⋅ 440 2 ⋅ 3

Fazendo essa continha

a m a x = 2,3 ⋅ 10 7 m m s 2

Passo 3

(c) (i) x = A c o s ω t

d x d t = - A ω s e n ω t

d 2 x d t 2 = - A ω 2 cos ⁡ ω t

J e r k = d 3 x d t 3 = A ω 3 s e n   ω t

(ii) J a r r = A ω 3 s e n ω t

J a r r = 3.0 × 10 - 3 m 2 π × 440   H z 3 s e n ( 2 π × 440 H z × t )

Para o valore máximo do modulo de arrancada s e n ω t = 1 , temos

J m á x = 3.0 × 10 - 3 m 2 π × 440   H z 3

J m á x = 6.34 × 10 7 m / s 3

Resposta

  1. 3,0 ⋅ cos ⁡ 2 π ⋅ 440 ⋅ t
  2. 2,3 ⋅ 10 7 m m s 2
  3. 6.34 × 10 7 m / s 3
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