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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Problemas Desafiadores - Ex. 74

Uma versão realista do paradoxo dos gêmeos. Uma espaçonave deixa a Terra no dia 1º de janeiro de 2100. Stella, uma das irmãs gêmeas nascidas no ano 2075, pilota a espaçonave (sistema de referência S ’ ); a outra gêmea, chamada de Terra, permanece em nosso planeta (sistema de referencia S). A espaçonace possui uma aceleração com módulo constante g no seu próprio sistema (isso faz com que a astronauta sinta como se estivesse em casa, visto que a aceleração é igual à existente na superfície terrestre). A trajetória da espaçonave é uma linha reta.

  1. Usando os resultados do Problema Desafiador 37.73, mostre que, para o sistema S da gêmea Terra, a aceleração da espaçonave é

    2. d u d t = g 1 - u 2 c 2 3 / 2

    Onde u é a velocidade instantânea em relação ao sistema S .

  2. Escreva o resultado do item (a) a forma d t = f ( u ) d u , onde f ( u ) é uma função de u , e integre ambos os membros da equação anterior. (Sugestão: Use a integral indicada no Problema 37.63). Mostre que, no sistema de referencia da irmã gêmea Terra, o tempo que Stella leva para atingir a velocidade v 1 x   é dado por.

    3. t 1 = v 1 x g 1 - v 1 x 2 / c ²  

  3. Use a fórmula da dilatação do tempo para relacionar d t com d t ' (intervalos de tempo infinitesimais medidos, respectivamente, no stema S e no sistema S’). Combine esse resultado com o obtido no item (a) e inegr como indicado no item (b) para mostrar o seguinte: quando Stella adquire uma velocidade v 1 x em relação à sua irmã Terra, o Tempo t ' 1 decorrido no sistema S’ é.

    4. t ' 1 = c g arctanh ⁡ v 1 x c

    Onde arctgh é função inversa da tangente hiperbólica. ( S u g e s t ã o : use a integral indicada no problema desafiador 5.124, no volume 1.)

  4. Combine os resultados obtidos nos itens (b) e (c) para achar t 1 em termos somente de t ' 1 , g e c
  5. Stella acelera em linha reta durante 5 anos (usando seu relógio), freia com a mesma taxa durante 5 anos, volta na mesma direção em sentido contrário, acelera durante 5 anos e freia com a mesma taxa durante 5 anos, finalmente atingindo o repouso na superfície terrestre. De acordo com o relógio de Stella, regressou no dia 1º de janeiro de 2120. De acordo com o relógio da irma gêmea Terra, em que data ela regressou?

Passo 1

  1. De acordo com o refencial a velocidade v ’ é medida em relação ao foguete e, assim, para o foguete e o ocupante (observador), v ’ = 0 . A aceleração pode ser considerada como a aceleração da gravidade ( a ’ = g ). Sendo assim a aceleração medida na Terra é

    2. a = d u d t = g 1 - u 2 c 2 3 / 2

    Passo 2

  2. Como v 1 = 0 então t = 0 ,

    3. d t = 1 g d u 1 - u 2 c 2 3 / 2

    ∫ 0 t 1 d t = 1 g ∫ 0 v 1 d u 1 - u 2 c 2 3 / 2

    t 1 = v 1 g 1 - v 1 2 c 2

    Passo 3

  3. d t ' = γ d t

    4. d t ' = d t / 1 - u 2 c 2

    Através a relação em partes entre d t e d u expressa em termos de d t ' e du’

    d t ' = γ d t = 1 1 - u 2 c 2 d u g 1 - u 2 c 2 3 2

    d t ' = 1 g d u 1 - u 2 c 2 2

    g d t ' = d u 1 + u c 1 - u c  

    g d t ' = 1 2 d u 1 + u c + d u 1 - u c  

    Através do método da fração parcial (podemos utilizar este método para evitar a inversão hiperbólica), chegamos a t 1 ' = c g arctanh ⁡ v 1 c , sendo assim.

    t 1 ' = c g ln ⁡ c + v 1 c - v 1

    Passo 4

  4. Resolvendo a expressão encontrada no item (c). temos que

    5. t 1 = c g   t a n h ⁡ ( g t ' 1 / c ) 1 / c o s h ⁡ ( g t ' 1 / c ) = c g s i n h ⁡ ( g t ' 1 / c )

    Utilizando as equações trigonométricas, temos

    g t 1 c = s i n h ⁡ ( g t ' 1 / c )

    Colocando em termos de v 1

    v 1 c = e g t 1 ' c - e - g t 1 ' c e g t 1 ' c + e - g t 1 ' c

    Utilizando o resultado do item (b), temos

    t 1 = c 2 g ( e g t 1 ' c - e - g t 1 ' c )

    Passo 4

  5. Substituindo os dados na equação do item (d), temos

c g sinh ⁡ g t ' 1 c = 2,65   x   10 9   s = 84   a n o s

Como foram 4 vezes, multiplicamos por 4 = 336 anos

Stella voltará para a Terra em 336 anos, ou seja, no ano de 2436.

Resposta

  1. a = d u d t = g 1 - u 2 c 2 3 / 2
  2. t 1 = v 1 g 1 - v 1 2 c 2
  3. t 1 ' = c g ln ⁡ c + v 1 c - v 1
  4. t 1 = c 2 g ( e g t 1 ' c - e - g t 1 ' c )
  5. Stella voltará para a Terra em 336 anos, ou seja, no ano de 2436.
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