Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 53
Você coloca sua formiga de estimação, Carolina (massa ), sobre uma corda horizontal esticada, a que ela se agarra com firmeza. A corda tem massa e comprimento , e está sob a tensão . Você provoca uma onda senoidal transversal de comprimento de onda e amplitude , que se propaga ao longo da corda. O movimento da corda ocorre em um plano vertical. A massa de Carolina é tão pequena que a sua presença não tem efeito sobre a propagação da onda.
- Qual é a velocidade máxima de Carolina ao oscilar para cima e para baixo?
- Carolina gosta da brincadeira e pede mais. Você decide dobrar a sua velocidade máxima variando a tensão ao mesmo tempo em que mantém o valor do comprimento de onda e da amplitude. A tensão deve ser aumentada ou diminuída, e em que fator?
Passo 1
Letra a)
Olá tudo bem? Vamos começar?
Digamos que a equação que descreve essa onda senoidal é dada pela seguinte expressão:
Assim, a velocidade de oscilação para cima e para baixo da Carolina vai ser a velocidade transversal. Esta, por sua vez, é dada pela derivada temporal da posição. Então vamos derivar :
E a velocidade máxima vai ser quando a parte oscilante foi máxima:
Temos a amplitude, agora só nos resta colocar a frequência angular em termos de e .
Passo 2
A frequência angular pode ser dada em termos do comprimento da frequência :
E a frequência está relacionada com a velocidade de propagação e o comprimento de onda:
Então fica:
Passo 3
Mas e a velocidade? Bom, essa está relacionada com a tensão no fio (que é ) e a densidade linear de massa . A densidade não temos explicitamente, mas sabemos que ela é a razão entre a massa da corda e seu comprimento :
Então a velocidade de propagação é:
Certo?
Então conseguimos colocar a frequência angular em termos das quantidades conhecidas:
Passo 4
E por fim, podemos voltar à expressão para a velocidade máxima transversal:
E colocar ela em termos das quantidades conhecidas. Resgatando a expressão para ali do passo anterior, é só substituir aqui em cima:
Passo 5
Letra b)
Agora você decide dobrar a velocidade e quer saber como fica a nova tensão. Bom, sabemos que a velocidade e a tensão estão relacionadas pela seguinte expressão:
Vou isolar para ver sua relação com a velocidade. Após algumas poucas manipulações teremos:
Agora vamos fazer , e descobrir como fica a nova tensão :
Mas os valores de e são os mesmos, então podemos substituir por respectivamente:
E agora reorganizando um pouco:
Ou seja, ao dobrarmos a velocidade, a tensão fica multiplicada por um fator de :