Enunciado
Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 2.Perguntas Objetivas - Ex. 08
Você solta uma bola de uma janela do andar superior de um edifício. Ela atinge o chão com velocidade v. Agora você repete o lançamento, mas seu amigo no chão joga outra bola para cima com a mesma velocidade v, soltando a bola dele no mesmo momento em que você solta a sua da janela. Em algum local, as bolas passam uma pela outra. Esse local é
- no meio do caminho entre a janela e o chão,
- acima desse ponto ou
- abaixo desse ponto
Passo 1
Bom, da perspectiva da pessoa que soltou a bola da janela, a equação que descreve o ponto do espaço , onde a bola que foi largada encontra com a que foi lançada pra cima, é a seguinte:
O sinal negativo em é convenção pra indicar que o objeto está caindo, ou seja, indo pra posições no espaço de “menor valor”.
Aqui, é a altura exata de onde a bola foi largada, é a velocidade inicial da bola quando ela foi largada e é a aceleração da gravidade.
Você há de convir que, se a bola foi meramente largada, ela inicia o movimento de queda livre com velocidade inicial nula! Ou seja, . Então, dá pra reescrever a equação assim:
Passo 2
Agora a gente faz a mesma coisa pra bola que foi lançada pra cima. No ponto ,onde essa bola encontra a que está caindo, vamos escrever assim:
Aqui, o zero seria o chão, a posição inicial da bola (de onde ela é arremessada pra cima), considerando desprezível a altura da pessoa que a arremessou, frente a altura , de onde a outra bola foi solta; , como diz o enunciado, é a velocidade inicial do arremesso da bola.
Como o ponto de partida dessa bola é o ponto zero, podemos reescrever a equação assim, então:
Passo 3
E eu não disse nos Passos 1 e 2 que é o ponto no espaço em que as bolas passam uma pela outra? Sendo assim, as equações que achamos pra se equivalem!
Então dá pra gente igualar as equações desses últimos Passos, assim:
Simplificando os termos iguais, vamos ter:
Isolando , o momento de encontro das bolas em , temos:
Passo 4
Se a gente substituísse a última expressão em alguma das equações pra que escrevemos nos Passos 1 e 2, acredite, ainda assim não chegaríamos a nada muito conclusivo.
Mas se você reler o enunciado, vai ver que, no primeiro experimento com a bola jogada da janela, ela atingiu o solo com velocidade . Dá pra gente encontrar uma expressão pra usando a equação de Torricelli da seguinte forma:
Onde (zero mesmo!) é a velocidade inicial da queda (já que a bola foi apenas solta das mãos).
Com isso, a gente pode escrever que:
E, por fim:
Vamos jogar essa expressão pra na última equação do Passo 3 e, aí sim, vamos aplicar a expressão resultante em alguma das equações pra .
Passo 5
Determinamos no Passo 4 uma expressão pra , a velocidade com que a bola abandonada da janela atingiu o solo da primeira vez que foi jogada, que também é a velocidade com que a outra bola foi arremessada pra cima.
Com isso, a gente chegou na seguinte expressão:
Bom, agora vamos jogar essa expressão na equação pra do Passo 1 (podia ser a do Passo 2 também, tanto faz, mas vai ser mais fácil!):
Vamos desenvolver os cálculos com calma, e vamos ter o seguinte:
E essa expressão nos dá o ponto de encontro em função da altura do edifício.
Bom, de algum número equivale a vezes esse mesmo número, ou ainda, . Ou seja, o ponto de encontro acontece a de , o que é uma altura acima da metade de , que seriam .
Com isso, ficamos com a alternativa b)
Resposta
Alternativa b)