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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 20.1 - Ex. 28

Você tem um anel de cobre e uma haste de aço. A 20°C, o anel tem um diâmetro interno de 5,98 cm e a haste de aço tem um diâmetro de 6,0 cm. O anel de cobre foi aquecido. Quando seu diâmetro interno excedeu os 6,0 cm, ele foi encaixado na haste, tendo ficado firmemente preso a ela, depois de retornar à temperatura ambiente. Agora, muitos anos depois, você precisa remover o anel da haste. Para isto, você aquece ambos até conseguir fazer deslizar o anel para fora da haste. Que temperatura deve ter o anel para começar a deslizar pela haste?

Passo 1

Olá! Fala aí! Tá bem? Então, vamos entender o que ele quer.

A gente tem um anel que na temperatura ambiente de 20 ° C tem 5,98   c m de diâmetro interno. Aí a gente o aquece, o que faz com que esse diâmetro interno aumente, e o encaixa numa haste de 6   c m   de diâmetro.

Só que esse anel volta a temperatura ambiente, então o diâmetro dele volta a ser de 5,98   c m . Como a haste tem um diâmetro maior que isso, o anel fica preso na haste.

O que ele quer saber é a que temperatura a gente deve aquecer esse anel que está acoplado a haste para conseguir fazer ele começar a deslizar pela haste. Aí vamos refletir: para um anel deslizar pelo seu dedo, o diâmetro interno dele deve ser igual ao diâmetro do seu dedo, né?

O mesmo acontece aqui! Para o anel de cobre deslizar pela haste de aço, o diâmetro interno do anel deve ser igual ao diâmetro da haste

D C u = D a ç o

Como o anel e haste estão juntos, vamos ter que aquecer os dois ao mesmo tempo. E por isso, o diâmetro dos dois muda com a temperatura, por isso, ambos os diâmetros vão ser dados pela soma entre o diâmetro inicial D 0 e a variação de diâmetro causada pela temperatura ∆ T

D = D 0 + ∆ D

Onde essa variação de diâmetro é uma variação de comprimento, logo é dada por

∆ D = D 0 . α . ∆ T

Sendo α o coeficiente de expansão térmica de cada material dado na tabela 20-1.

Bora lá descobrir a temperatura final T f desse anel!

Passo 2

Vamos escrever a expressão final do diâmetro para o anel de cobre e para a haste de aço:

D = D 0 + ∆ D

D = D 0 + D 0 . α . ∆ T

Para o cobre:

D C u = D 0 , C u + D 0 , C u . α C u . ∆ T

Para o aço:

D a ç o = D 0 ,   a ç o + D 0 ,   a ç o . α a ç o . ∆ T

Como o diâmetro final deve ser igual para ambos, para que o anel possa deslizar:

D C u = D a ç o

D 0 , C u + D 0 , C u . α C u . ∆ T = D 0 ,   a ç o + D 0 ,   a ç o . α a ç o . ∆ T

Passo 3

Agora lembra que ambos estão juntos. Se a gente esquenta dois corpos que estão em contato ao mesmo tempo, ambos sobre a mesma variação de temperatura, logo Δ T é o mesmo para os dois.

Já que nosso objetivo é achar a temperatura final, e a variação de temperatura será igual para os dois corpos, podemos isolá-la:

D 0 , C u + D 0 , C u . α C u . ∆ T = D 0 ,   a ç o + D 0 ,   a ç o . α a ç o . ∆ T

∆ T = D 0 ,   a ç o - D 0 , C u D 0 , C u . α C u - D 0 ,   a ç o . α a ç o

Lembra que a variação de temperatura é dada por

Δ T = T f - T o

Jogando isso na nossa equação e isolando quem a gente quer encontrar

T f - T o = D 0 ,   a ç o - D 0 , C u D 0 , C u . α C u - D 0 ,   a ç o . α a ç o

T f = T 0 + D 0 ,   a ç o - D 0 , C u D 0 , C u . α C u - D 0 ,   a ç o . α a ç o

Passo 4

Agora é definir nossas variáveis. A temperatura inicial é a ambiente, então estamos a 20 ° C . Mas precisamos usar a unidade de kelvin nessa fórmulinha de expansão térmica, então a gente vai passar nossa temperatura para essa unidade somando 273:

T 0 = 20 ° C + 273 = 293   K

Os diâmetros iniciais são

D 0 , C u = 5,98   c m

D 0 ,   a ç o = 6,00   c m

Tabelado nós temos:

α C u = 17 × 10 - 6   K - 1

α a ç o = 11 × 10 - 6   K - 1

Substituindo:

T f = T 0 + D 0 ,   a ç o - D 0 , C u D 0 , C u . α C u - D 0 ,   a ç o . α a ç o

T f = 293   K + 6   c m - 5,98   c m 5,98   c m 17 ×   10 - 6   K - 1 - 6,00   c m 11 ×   10 - 6   K - 1

Fazendo a conta

T f = 853 , 9   K

Em graus Celsius:

T f = 853 , 9 - 273

T f ≈ 580 , 9   ° C

Resposta

T f ≈ 580 , 9   ° C

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