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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 45

Um astronauta deseja visitar a galáxia de Andrômeda, fazendo uma jornada de ida que levará 30,0   a n o s no referencial da nave espacial. Suponha que a galáxia está a 2,00 × 10 6 anos-luz de distância e que a velocidade do astronauta seja constante. (a) Em que velocidade ele deve viajar em relação à Terra? (b) Qual será a energia cinética da sua nave espacial de 1   000 toneladas métricas? (c) Qual seria o custo dessa energia se fosse comprada ao preço típico, de $   0,110 / k W h , da energia elétrica vendida para o consumidor?

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Letra a:

A viagem envolve o astronauta deixando a Terra e chegando à galáxia. Os relógios da espaçonave marcam a hora certa. A distância da Terra à galáxia é uma distância adequada na Terra. Conforme medido na Terra, o astronauta viaja a distância:

d Terra   = v Δ t Terra = v γ Δ t astro  → d Terra c = v c 1 1 - v 2 c 2 Δ t a stro  

1 - v 2 c 2 = v 2 c 2 Δ t astro  d Terra   c 2 → 1 = 1 + Δ t astro  d Terra   c 2 v 2 c 2

v c = 1 1 + Δ t a stro  d Terra   / c 2 = 1 1 + 30.0 y 2.00 × 10 6 l y / c 2

= 1 1 + 30.0 y 2.00 × 10 6 y 2 = 1 - 1 2 30.0 2.00 × 10 6 2

= 1 - 1.12 × 10 - 10

v = 1 - 1.12 × 10 - 10 c

Passo 2

Letra b:

1 - v 2 c 2 = 1 - 1 1 + Δ t a s t r o d T e r r a c 2

≃ 1 - 1 - Δ t astro  d Terra   c 2 = Δ t astro  d Terra   c 2

Então,

1 1 - v 2 c 2 - 1 = d Terra   c Δ t astro  - 1

Agora podemos avaliar a energia cinética da espaçonave:

K = 1 1 - v 2 / c 2 - 1 m c 2 = 2.00 × 10 6 30.0 - 1 ( 1000 ) ( 1000 k g ) 3.00 × 10 8 m / s 2 = 6.00 × 10 27 J

Passo 3

Letra c:

6.00 × 10 27 J $ 0.110 k W h 1 k W h 3600 × 10 3 J = $ 1.83 × 10 20

Resposta

  1. v = 1 - 1.12 × 10 - 10 c
  2. 6.00 × 10 27 J
  3. = $ 1.83 × 10 20
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