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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 34

Um corpo é solto do repouso a uma altura h acima da superfície da Terra. (a) Mostre que sua velocidade a uma distância r do centro da Terra, em que R T ≤   r ≤   R T   +   h , é v =   2 G M T 1 r - 1 R T + h (b) Suponha que a altitude de lançamento seja de 500   k m . Faça a integral ∆ t = ∫ i f d t = - ∫ i f d r v para encontrar o tempo de queda, de modo que o corpo se mova do ponto de liberação até a superfície da Terra. O sinal negativo aparece porque o corpo está em movimento oposto ao sentido radial, então sua velocidade é v   =   – d r / d t . Faça a integral numericamente.

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Letra a:

Conservação de energia do sistema desde a liberação até raio r:

K + U g altitude  h = K + U g raio   r 0 - G M T m R T + h = 1 2 m v 2 - G M T m r v = 2 G M T 1 r - 1 R T + h 1 2 = - d r d t

Passo 2

Letra b:

∫ i f   d t = ∫ i f   - d r v = ∫ f i   d r v

O tempo da queda é:

Δ t = ∫ R T R T + h   2 G M T 1 r - 1 R T + h - 1 2 d r

Δ t = 2 × 6.67 × 10 - 11 × 5.98 × 10 24 × ∫ 6.37 × 10 6 m 6.87 × 10 6 m   1 r - 1 6.87 × 10 6 m - 1 2 d r

Podemos alterar as variáveis ​​para u = r 10 6 . Então,

Δ t = 7.977 × 10 14 - 1 2 ∫ 6.37 6.87   1 10 6 u - 1 6.87 × 10 6 - 1 2 10 6 d u = 3.541 × 10 - 8 10 6 10 6 - 1 2 ∫ 6.37 6.87   1 u - 1 6.87 - 1 2 d u

Δ t = 3.541 × 10 - 8 × 10 9 × 9.596 = 339.8 = 340 s

Resposta

  1. Ver resolução
  2. 340 s
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